Поликруг

Не следует путать с полукруговой областью.

Обзорная статья: Области комплексного пространства

Не следует путать с полукруговой областью.

Поликру́г^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар^[2][3].

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})}$

Синонимы: полидиск^[4]; круговой полицилиндр^[5][3]; шар в поликруговой метрике; шар в ${\displaystyle \rho }$-метрике^[2]; произведение кругов^[6].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[5].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[7][5].

Определение поликруга

Поликруг^[1] радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — следующее множество точек ${\displaystyle z}$ комплексного пространства ${\displaystyle C^{n}}$ произвольной размерности ${\displaystyle n}$^[2][8]:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,\|z-z_{0}\|<r\}=}$

${\displaystyle =\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,{\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}=}$.

${\displaystyle =\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$.

Синонимы: полидиск^[4]; круговой полицилиндр^[5][3]; шар в поликруговой метрике; шар в ${\displaystyle \rho }$-метрике^[2]; поликруг с равными радиусами^[1]; полицилиндр с равными радиусами^[1][6]; произведение кругов^[1][6].

Так определённый поликруг — это шар с центром ${\displaystyle z_{0}}$ в поликруговой ${\displaystyle \rho }$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

радиуса ${\displaystyle r}$ с центрами в точках ${\displaystyle z_{0k}}$^[2].

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса^[1], ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — это следующее множество точек^{[2][4][5][3][9]}:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов с разными радиусами ${\displaystyle r_{k}}$ и одним центром ${\displaystyle z_{0}}$^[5]:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть ${\displaystyle z_{0}=0}$, и единичным радиусом, то есть ${\displaystyle r=1}$^[5].

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точек^[10]:

${\displaystyle E^{n}(\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}+{\sqrt {r_{k}^{2}-1}}|<r_{k},\,r_{k}>1,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}.}$

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

${\displaystyle z_{k}=b_{k}+\sum \limits _{p=1}^{n}a_{kp}z'_{p},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

комплексного пространства^[11].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[5].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[7][5].

• Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Граница поликруга

Граница^[1] поликруга — множество ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ всех точек, обладающих следующими двумя свойствами^[2]:

• хотя бы одна координата ${\displaystyle z_{k}}$ принадлежит границе ${\displaystyle k}$-го круга;
• остальные координаты ${\displaystyle z_{l},\,l\neq k,}$ имеют произвольные значения в замкнутых кругах.

Граница ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ поликруга ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ состоит естественным образом из ${\displaystyle n}$ множеств

${\displaystyle \Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,|z_{l}-z_{0l}|\leqslant r_{l},\,l\neq k\}}$

размерности ${\displaystyle 2n-1}$, поскольку на ${\displaystyle 2n}$ координат любой точки ${\displaystyle z}$ накладывается одно вещественное условие ${\displaystyle |z_{k}-z_{0k}|=r_{k}}$. Следовательно, и вся граница ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}=\bigcup _{k=1}^{n}\Gamma _{k}}$ поликруга ${\displaystyle (2n-1)}$-мерна^[2].

Остов поликруга — ${\displaystyle n}$-мерное пересечение всех множеств границы поликруга ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Sk} \Delta ^{n}=\partial \Delta _{1}\times \partial \Delta _{2}\times \cdots \times \partial \Delta _{n}=}$

${\displaystyle =\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

которое представляет собой топологическое произведение ${\displaystyle n}$ окружностей^[2][5][4].

Бикруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})}$

Определение бикруга

Бикруг^[1] — поликруг размерности 2. Рассмотрим единичный бикруг^[1] радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражением^[2]:

${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1\}}$.

Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}<1,\quad }$ ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}<1,}$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным^[12].

Граница бикруга

Граница^[1] единичного бикруга есть трёхмерное тело ${\displaystyle \partial \Delta =\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$, причём

${\displaystyle \Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\}}$

тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:

${\displaystyle \Gamma _{1}=\bigcup _{\theta =0}^{2\pi }\{z_{1}=e^{i\theta },\,|z_{2}|\leqslant 1\},}$

а для тела ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ всё аналогично^[12].

Остов бикруга

Двумерный остов бикруга ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}}$ есть тор

${\displaystyle \Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\}}$^[12].

Действительно, рассмотрим отображение

${\displaystyle z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,z_{2}=e^{i\theta _{2}},}$

которое голоморфно преобразует на двумерный остов ${\displaystyle \Gamma }$ некоторый квадрат

${\displaystyle \{0\leqslant \theta _{1}\leqslant 2\pi ,\,0\leqslant \theta _{2}\leqslant 2\pi \},}$

у которого, поскольку ${\displaystyle e^{i(\theta _{k}+2\pi )}=e^{i\theta _{k}}}$, отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен тор^[12].

Этот тор ${\displaystyle \Gamma }$, как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей

${\displaystyle \{z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,|z_{2}|=1\},\quad \{z_{1}=1,\,|z_{2}|=e^{i\theta _{2}}\},}$

${\displaystyle 0\leqslant \theta _{1},\,\theta _{2}<2\pi ,}$

и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семейств^[12].

Также тор ${\displaystyle \Gamma }$ есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}=1,\quad }$ ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=1,}$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ на трёхмерной сфере

${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}+(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=2}$^[12].

Геометрическое представление бикруга

Один из способов геометрического представления бикруга следующий^[13]:

1) выбираем в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ трёхмерную сферу

${\displaystyle \{|z|={\sqrt {2}}\};}$

2) на сфере фиксируем двумерный тор

${\displaystyle \Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\};}$

3) на тор натягиваем два трёхмерных тела

${\displaystyle \Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\},\quad }$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\{|z_{1}|\leqslant 1,\,|z_{2}|=1\},}$

которые лежат в шаровом слое

${\displaystyle \{1\leqslant |z|\leqslant {\sqrt {2}}\};}$

4) объединение ${\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$ этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.

Слой бикруга

Обзорная статья: Выпуклый слой

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикругов^[14].

Слой бикруга — точечное множество ${\displaystyle \Omega }$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикруга^[14]:

${\displaystyle \Omega \equiv \Delta ^{2}(0,\,R)\setminus {\bar {\Delta }}^{2}(0,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R.}$

Полиобласть

Не следует путать с кратно-круговой областью, ${\displaystyle n}$-круговой областью (multicircular domain) и полукруговой областью.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[5].

Полиобласть^[1] ${\displaystyle D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}$ — топологическое произведение ${\displaystyle n}$ следующих в общем случае плоских многосвязных областей^[5][7][9]:

${\displaystyle D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Синонимы: поликруговая область^[5][7]; обобщённый полицилиндр^[5][3]; полицилиндрическая область^[7][15].

Если все плоские области ${\displaystyle D_{k}}$ односвязны, то в этом случае полиобласть ${\displaystyle D}$ гомеоморфна шару^[7].

Граница ${\displaystyle \partial D}$ полиобласти ${\displaystyle D}$ состоит естественным образом из ${\displaystyle n}$ множеств

${\displaystyle \Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,z_{l}\in {\overline {D_{l}}},\,l\neq k\},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

размерности ${\displaystyle 2n-1}$^[5][7].

Остов полиобласти ${\displaystyle D}$ — ${\displaystyle n}$ мерное пересечение всех множеств ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma =\partial D_{1}\times \partial D_{2}\times \cdots \times \partial D_{n}=}$

${\displaystyle =\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

которое представляет собой топологическое произведение ${\displaystyle n}$ областей^[5][7].