Направление (отношение порядка)

Термин «Направление» имеет также другие значения.

Не следует путать с направленностью — обобщением понятия последовательности в топологии.

Обзорная статья: Бинарное отношение § Виды отношений

Направле́ние — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними^[1].

Диаграмма Хассе направленного множества

Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления^[2].

Обычно предпорядок считается нестрогим, то есть направление — предпорядок со свойством бинарных отношений Мура — Смита (иерархичности)➤^[3][2][4][5]. В качестве знака бинарного отношения нестрогого направления обычно используют символ меньше или равно ${\displaystyle \leqslant }$^[3][2].

Рассматривают также строгую концепцию следующего элемента, когда направление — отношение строгого порядка со свойством бинарных отношений Мура — Смита➤^[6].

Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий^[7].

Считается, что понятие направления и обобщённого предела возникло в общей теории пределов, разработанной русским математиком Самуилом Шатуновским в 1906—1907 годах, который называл направленное множество «расположенным», а также было предложено Муром и Смитом независимо в 1915—1922 годах^[1][8][9].

Определение

Направление (нестрогое) — бинарное отношение порядка ${\displaystyle R}$ на некотором непустом множестве ${\displaystyle A}$, которое задаётся следующими двумя аксиомами предпорядка и одной специальной аксиомой^{[3][2][4][10]}:

(D1) отношением транзитивности: для любых ${\displaystyle x,\,y,\,z\in A}$, ${\displaystyle xRy}$, ${\displaystyle yRz}$ всегда выполняется ${\displaystyle xRz}$;

(D2) отношением рефлексивности: для каждого ${\displaystyle x\in A}$ всегда выполняется ${\displaystyle xRx}$;

(D3) свойством Мура — Смита (отношением иерархичности^[5]): для любых ${\displaystyle x,\,y\in A}$ найдётся ${\displaystyle z\in A}$ такой, что ${\displaystyle xRz}$, ${\displaystyle yRz}$. Для свойства Мура — Смита не имеет значения, ${\displaystyle xRy}$, или ${\displaystyle yRx}$, или ни то и ни другое^[6].

Синонимы: направленный предпорядок; фильтрованное множество^[7].

Другими словами, направление — предпорядок такой, что для двух произвольных элементов существует элемент, который следует за ними. Такое направление есть также направление в смысле общей теории пределов, если считать отношение следования отношением включения множеств^[1].

Также говорят, что отношение направления направляет множество, а множество направлено отношением направления^[2].

В качестве знака бинарного отношения направления обычно используют символ меньше или равно ${\displaystyle \leqslant }$^[3][2].

Строгое направление ${\displaystyle <}$ подразумевает, что если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то ${\displaystyle x\neq y}$➤^[5].

Говорят, что элемент ${\displaystyle y}$ следует за элементом ${\displaystyle x}$ при упорядочении ${\displaystyle \leqslant }$, или элемент ${\displaystyle x}$ предшествует элементу ${\displaystyle y}$, если и только если ${\displaystyle x\leqslant y}$^[4].

Свойство Мура — Смита допускает наличие в множестве последнего или первого элемента для (нестрогого) направления, как в примере 1➤^[4].

Направления используются в топологии для определения направленности (обобщения предела), а также применяются в абстрактной алгебре и в теории категорий^[7].

Примеры

Приведём несколько естественных примеров множеств, направленных отношениями^[4].

1. Вещественные числа, как и натуральные числа с нулём, направлены отношением порядка ${\displaystyle \leqslant }$. Причём число ${\displaystyle 0}$ следует за любым натуральным числом относительно порядка ${\displaystyle \geqslant }$^[4].

2. Множество всех окрестностей любой точки топологического пространства направлено отношением включения ${\displaystyle \supset }$, поскольку пересечение двух окрестностей есть снова окрестность, причём она следует за каждой из двух исходных окрестностей относительно порядка ${\displaystyle \supset }$^[4].

3. Множество всех конечных подмножеств любого множества направлено отношением включения ${\displaystyle \subset }$^[4].

4. Произвольное множество становится направленным, если для любых двух его элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ верно ${\displaystyle x\leqslant y}$, то есть каждый элемент следует за любым элементом, в том числе и за собой^[4].

Место в ряду других бинарных отношений

Бинарное отношение на некотором множестве ${\displaystyle A}$ — произвольное подмножество ${\displaystyle R}$ прямого произведения ${\displaystyle A\times A}$: ${\displaystyle R\in A\times A}$. На бинарных отношениях существуют теоретико-множественные операции объединения ${\displaystyle \cup }$, пересечения ${\displaystyle \cap }$, дополнения ${\displaystyle ^{\complement }}$, принадлежности ${\displaystyle \subseteq }$, разности ${\displaystyle \setminus }$, а также композиция отношений^[англ.] ${\displaystyle \circ }$:

${\displaystyle R\circ S=\{(x,\,y)\colon \exists z\in A\,((x,\,z)\in R;(z,\,y))\in S\}}$

и обратное отношение ${\displaystyle ^{-1}}$:

${\displaystyle R^{-1}=\{(x,\,y)\colon ((y,\,x)\in R\}}$^[5].

На множестве ${\displaystyle A}$ имеется также единичное отношение диагональ ${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \Delta =\{(x,\,x)\colon x\in A\}}$^[5].

Бинарное отношение ${\displaystyle R\in A\times A}$ рефлексивно при ${\displaystyle \Delta \subseteq R}$, симметрично при ${\displaystyle R^{-1}=R}$, антисимметрично при ${\displaystyle R\cap R^{-1}=\Delta }$, транзитивно при ${\displaystyle R\circ R=R}$ и иерархично➤ при ${\displaystyle R\circ R^{-1}=A\times A}$^[5].

Существуют следующие частные случаи предпорядка, то есть рефлексивного и транзитивного отношения^[5]:

• порядок — антисимметричный предпорядок

${\displaystyle R\cap R^{-1}=\Delta \subseteq R=R\circ R}$;

• эквивалетность — симметричный предпорядок

${\displaystyle \Delta \subseteq R=R\circ R=R^{-1}}$;

• направление — иерархичный предпорядок

${\displaystyle \Delta \subseteq R=R\circ R\,}$ и ${\displaystyle \,R\circ R^{-1}=A\times A}$.

Направленное множество и направленность

Основные статьи: Направленное множество и Направленность (математика)

Направление используется для задания направленного множества и направленности^{[11][12][13][14]}.

Направленное множество, или направленная система, — множество ${\displaystyle A}$, на котором задано направление ${\displaystyle \leqslant }$, то есть пара ${\displaystyle \langle A,\,\leqslant \rangle }$^[11][4].

В частности, направленное вверх, или по возрастанию, множество — любое частично упорядоченное множество, все двухэлемпентные (а значит, и все конечные) подмножества которого обладают верхней гранью. Понятие направленное вниз, или по убыванию, множество определяется аналогично благодаря принципу двойственности, но используется редко^[11][14][15].

Направленность — функция ${\displaystyle F}$, отображающая направленное множество ${\displaystyle \langle A,\,\leqslant \rangle }$ в топологическое пространство, то есть пара ${\displaystyle \langle F,\,\leqslant \rangle }$, где ${\displaystyle \leqslant }$ — направление на области определения функции ${\displaystyle F}$^{[12][13][14][4]}.

Синонимы направленности: направленное множество; последовательность по направленному множеству^[16].

Строгое направление

Строгое направление ${\displaystyle <}$ подразумевает, что если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то ${\displaystyle x\neq y}$^[5].

Направление строгое — бинарное отношение порядка ${\displaystyle R}$ на некотором непустом множестве ${\displaystyle A}$, которое задаётся следующими двумя аксиомами строгого порядка и одной специальной аксиомой^[6]:

(D1) отношением транзитивности: для любых ${\displaystyle x,\,y,\,z\in A}$, ${\displaystyle xRy}$, ${\displaystyle yRz}$, всегда выполняется ${\displaystyle xRz}$;

(D2) отношением асимметричности: если выполняется ${\displaystyle xRy}$, то не выполняется ${\displaystyle yRx}$;

(D3) свойством Мура — Смита➤: для любых ${\displaystyle x,\,y\in A}$ найдётся ${\displaystyle z\in A}$ такой, что ${\displaystyle xRz}$, ${\displaystyle yRz}$. Для свойства Мура — Смита не имеет значения, ${\displaystyle xRy}$, или ${\displaystyle yRx}$, или ни то и ни другое.

Свойство Мура — Смита исключает наличие в множестве последнего или первого элемента для строгого направления^[6].

В линейно строго упорядоченном множестве ${\displaystyle A}$, не имеющем последнего элемента, выполняется свойство Мура — Смита. Действительно, для произвольных ${\displaystyle x,\,y\in A}$ установлен строгий порядок, пусть ${\displaystyle xRy}$. Поскольку ${\displaystyle y}$ не может быть последним элементом, то ${\displaystyle yRz}$, ${\displaystyle y\neq z}$. Тогда по свойству транзитивности также и ${\displaystyle xRz}$^[6].

Краткая история

Считается, что понятие направления и обобщённого предела возникло в общей теории пределов, разработанной русским математиком Самуилом Шатуновским в 1906—1907 годах, который называл направленное множество «расположенным», а также было предложено Муром и Смитом независимо в 1915—1922 годах^[1][8][9].

Русский и советский математик Дмитрий Крыжановский первый использовал обобщённый предел Шатуновского при определении обыкновенного интеграла в 1913—1916 годах. Советский математик Андрей Колмогоров использовал предел Шатуновского — Мура для принципиального обобщения понятия интеграла (1930)^[8].

Американский математик Элиаким Мур (1915) занимался суммируемостью неупорядоченных рядов. На базе этого исследования совместными усилиями Мура и американского математика Германа Смита^[англ.] (1922) выросла общая теория сходимости по Муру — Смиту^[17].

Американский математик Гаррет Биркгоф (1948^[18]) обобщил эту теорию на общую топологию^[17].