Кольцо Крулля

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году^[1]. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ — область целостности, а ${\displaystyle P}$ — множество всех простых идеалов ${\displaystyle A}$ высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. ${\displaystyle A}$ является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

1. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ — кольцо дискретного нормирования для всех ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$,
2. ${\displaystyle A}$ равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных ${\displaystyle A}$).
3. Любой ненулевой элемент ${\displaystyle A}$ содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Свойства

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным^[2].

Пусть ${\displaystyle A}$ — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ — кольцо Крулля, то и ${\displaystyle A}$ — кольцо Крулля.^[3]

Примеры

• Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
• Если ${\displaystyle A}$ — кольцо Крулля, то кольцо многочленов ${\displaystyle A[x]}$ и кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle A[[x]]}$ являются кольцами Крулля.
• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$ над факториальным кольцом ${\displaystyle R}$ — пример кольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
• Пусть ${\displaystyle A}$ — нётерова область с полем частных ${\displaystyle K}$, и ${\displaystyle L}$ — конечное расширение ${\displaystyle K}$. Тогда целое замыкание ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle L}$ — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты)^[4].

Группа классов дивизоров

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу ${\displaystyle D(A)}$ можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу ${\displaystyle D(A)}$, фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо ${\displaystyle A}$ факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров ${\displaystyle D(A)}$. Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара^[англ.] обратимых пучков на ${\displaystyle Spec(A)}$.

Пример: в кольце ${\displaystyle k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$ группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором ${\displaystyle y=z}$), тогда как группа Пикара тривиальна.