Конхоида Слюза

Конхоиды Слюза — это семейство плоских кривых, которые изучал в 1662 году Рене́-Франсу́а Валте́р, барон де Слюз^[1].

Конхоида Слюза для некоторых значений a

Кривые задаются в полярных координатах уравнением

${\displaystyle r=\sec \theta +a\cos \theta }$.

В декартовой системе кривые удовлетворяют уравнению

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}}$

за исключением случая a = 0, в котором кривая имеет изолированную точку (0,0), которой нет в полярном представлении кривой.

Кривые являются рациональными круговыми^[англ.] кубическими плоскими кривыми.

Выражения имеют асимптоту x=1 (для a≠0). Точка, наиболее удалённая от асимптоты — (1+a,0). (0,0) является точкой самопересечения для a<−1.

Для ${\displaystyle a\geq -1}$ область между кривой и асимптотой имеет площадь

${\displaystyle |a|(1+a/4)\pi }$

Для ${\displaystyle a<-1}$ площадь равна

${\displaystyle \left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.}$

Если ${\displaystyle a<-1}$, кривая имеет петлю. Площадь петли равна

${\displaystyle \left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.}$

Семь кривых из семейства имеют собственные имена^[2]:

a = 0, прямая (асимптота для остальных кривых семейства)

a = 1, визиера

a = 2, верзиера

a = ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}}$, псевдоверзиера

a = −1, циссоида Диокла

a = −2, прямая строфоида

a = −4, трисектриса Маклорена