Координатное представление (квантовая механика)

Координа́тное представле́ние — такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция ${\displaystyle \psi }$ зависят от пространственных координат. В этом представлении оператор координаты диагонален. В наиболее общем трехмерном случае квадрат модуля волновой функции ${\displaystyle |\psi ({\vec {r}})|^{2}}$ в координатном представлении определяет плотность вероятности обнаружить частицу в конкретной точке пространства ${\displaystyle {\vec {r}}}$, а сама функция имеет размерность м^-3/2 (в одномерном случае м^-1/2).

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =i{\hbar }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

- зависящее от времени, и

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =E\psi }$

- не зависящее от времени.

Здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки, где берётся волновая функция ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$, ${\displaystyle E}$ — полная энергия рассматриваемой частицы, ${\displaystyle U}$ — потенциальная энергия этой частицы, ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \nabla }$ — дифференциальный оператор набла, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Некоторые операторы в координатном представлении

${\displaystyle {\vec {r}}}$ — координата;

${\displaystyle -i{\hbar }\nabla }$ — импульс;

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})}$ — гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление (${\displaystyle p}$ — импульс), нужно осуществить один из двух вариантов действий:

1) решить задачу в координатном представлении и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

${\displaystyle \psi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (x)e^{-ipx/\hbar }dx}$,

при этом переход обратно к координатному представлению можно записать как

${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (p)e^{ipx/\hbar }dp}$.

Видно, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трехмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}}$.

2) Сменить гамильтониан на ${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+U\left(i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial p}}\right)}$ и решать задачу с ним.

Литература

• Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.