Описанное и вписанное конические сечения

Описанное коническое сечение или описанная коника для треугольника — это коническое сечение, проходящее через три вершины треугольника^[1], а вписанное коническое сечение или вписанная коника — это вписанное^[англ.] в треугольник коническое сечение, т.е. касающееся сторон треугольника (возможно, не самих сторон, а их продолжений^[англ.]) ^[2]

Вписанная и описанная параболы. Красным показана четвёртая точка пересечения (точка F)

Пусть даны три различные точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, и пусть ΔABC — треугольник, имеющий эти точки в качестве вершин. Обычно считается, что буква, например A, обозначает не только вершину A, но и прилежащий к ней угол BAC. Пусть a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| являются длинами сторон треугольника ΔABC.

В трилинейных координатах описанное коническое сечение — это геометрическое место точек X = x : y : z, удовлетворяющих уравнению

uyz + vzx + wxy = 0,

для некоторой точки u : v : w. Изогональное сопряжение любой точки из X на сечении, отличной от A,B,C, является точкой на прямой

ux + vy + wz = 0.

Эта прямая имеет с описанной вокруг треугольника ΔABC окружностью 0,1 или 2 общие точки в зависимости от того, является коническое сечение эллипсом, параболой или гиперболой.

Вписанное коническое сечение касается трёх прямых, проходящих через вершины треугольника ΔABC (продолжения сторон) и задаётся уравнением

u²x² + v²y² + w²z² − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

Центры и касательные прямые

Описанная коника

Центр описанного конического сечения — это точка

u(−au + bv + cw) : v(au − bv + cw) : w(au + bv − cw).

Прямые, касательные коническому сечению в точках A,B и C, задаются уравнениями

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Вписанная коника

Центр вписанного конического сечения — это точка

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Касательные к этой конике — это стороны треугольника ΔABC, и они задаются уравнениями x = 0, y = 0, z = 0.

Другие свойства

Описанные конические сечения

• Любое описанное коническое сечение, не являющееся окружностью, пересекает описанную вокруг ΔABC окружность в точке, отличной от A, B и C, которую часто называют четвёртой точкой пересечения, и она имеет трилинейные координаты

(cx − az)(ay − bx) : (ay − bx)(bz − cy) : (bz − cy)(cx − az)

• Если точка P = p : q : r лежит на описанном коническом сечении, то прямая, касательная сечению в точке P, задаётся уравнением

(vr + wq)x + (wp + ur)y + (uq + vp)z = 0.

• Описанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

u²a² + v²b² + w²c² − 2vwbc − 2wuca − 2uvab = 0,

и гиперболой тогда и только тогда, когда

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• Из всех треугольников, вписанных в заданный эллипс, центроид треугольника с наибольшей площадью совпадает с центром эллипса^[3]. Эллипс, проходящий через три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника, называется описанным эллипсом Штейнера.

Вписанные конические сечения

• Вписанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

ubc + vca + wab = 0,

и в этом случае коническое сечение касается одной стороны треугольника извне и касается продолжения двух других сторон.

• Предположим, что p₁ : q₁ : r₁ и p₂ : q₂ : r₂ различные точки, и пусть

X = (p₁ + p₂t) : (q₁ + q₂t) : (r₁ + r₂t).

Когда параметр t пробегает все вещественные числа, геометрическое место точек X является прямой. Определим

X² = (p₁ + p₂t)² : (q₁ + q₂t)² : (r₁ + r₂t)².

Геометрическое место точек X² является вписанным коническим сечением, обязательно эллипсом, которое задаётся уравнением

L⁴x² + M⁴y² + N⁴z² − 2M²N²yz − 2N²L²zx − 2L²M²xy = 0,

где

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса тогда и только тогда, когда точка лежит внутри треугольника, вершинами которого служат середины исходного треугольника^[4]. Для точки внутри серединного треугольника эллипс с центром в этой точке единственен^[5].
• Вписанный эллипс с наибольшей площадью является вписанным эллипсом Штейнера, который называется также серединным вписанным эллипсом. Центр этого эллипса совпадает с центроидом треугольника^[6]. В общем случае отношение площади вписанного эллипса к площади треугольника в терминах барицентрических координат ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ центра эллипса равно^[7].

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

и это отношение максимизируется при совпадении с барицентрическими координатами центроида треугольника ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =1/3.}$

• Прямые, соединяющие точки касания любого вписанного в треугольник эллипса с противолежащей вершиной, пересекаются в одной точке^[8].

Расширение на четырёхугольники

Все центры вписанных в четырёхугольник эллипсов лежат на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника^[9].

Примеры

• Описанное коническое сечение

  

  Вписанный и описанный эллипсы Штейнера

  • Описанная окружность, единственная окружность, проходящая через три вершины треугольника
  • Описанный эллипс Штейнера, единственный эллипс, проходящий через все три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника

    

    9 точек

  • Гипербола Киперта, единственная коника, которая проходит через три вершины треугольника, его центроид и его ортоцентр
  • Гипербола Ержабека, гипербола с центром, лежащим на окружности девяти точек, проходящая через три вершины треугольника, центр его описанной окружности, ортоцентр и другие замечательные центры
  • Гипербола Фейербаха, проходящая через ортоцентр треугольника, точку Нагеля и другие замечательные точки, имеет центр на окружности девяти точек.
• Вписанное коническое сечение

  

  Эллипс Мандара (красный)

  • Вписанная окружность, единственная окружность, касающаяся изнутри стороны треугольника
  • Вписанный эллипс Штейнера, единственный эллипс, касающийся трёх сторон треугольника в серединах сторон
  • Эллипс Мандара, единственный эллипс, касающийся сторон треугольника в точках касания внешнеописанных окружностей
  • Парабола Киперта
  • Парабола Иффа