Перестановочный многогранник

Перестановочный многогранник (или пермутоэдр) порядка ${\displaystyle n}$ — это (${\displaystyle n-1}$)-мерный выпуклый многогранник, вложенный в ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство, который является выпуклой оболочкой ${\displaystyle n!}$ точек, получающихся перестановками координат вектора ${\displaystyle (1,2,3,\ldots ,n)}$.

Перестановочный многогранник порядка 4

История

Согласно Гюнтеру Циглеру^[1], перестановочный многогранник впервые появляется в работах Шутэ в 1911 году. Сам термин «перестановочный многогранник» (точнее, его французский вариант «permutoèdre») впервые появился в статье Гуибуда (G.-T.Guibaud) и Розенштэхл, Пьер в 1963 году. Предлагая его, авторы писали, что «permutoèdre» выглядит варварски, но легко запоминается и что они оставляют использование этого термина на усмотрение читателя.

Близким понятием является многогранник Биркгофа, определяемый как выпуклая оболочка матриц перестановок. В более общей ситуации Боуман (V.-J.Bowman) в 1972 году использовал термин «перестановочный многогранник» («permutation polytope») для любого многогранника, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками некоторого множества.

Свойства

• Перестановочный многогранник порядка n имеет n! вершин, каждая из которых соединена с n − 1 другими вершинами, так что общее число рёбер равно (n − 1)n!/2.
• Каждое ребро имеет длину √2 и соединяет две вершины, получающиеся друг из друга перестановкой двух координат при условии, что значения этих координат различаются на единицу.^[2]

• Перестановочный многогранник имеет одну гипергрань для каждого непустого собственного подмножества S множества {1, 2, 3, …, n}, состоящую из всех вершин, у которых все координаты с номерами, вошедшими в S, имеют меньшие значения, чем все координаты с номерами, не вошедшими в S. Отсюда следует, что общее число гиперграней равно 2ⁿ − 2.

• Перестановочный многогранник является вершинно-транзитивным, а именно: симметрическая группа S_n действует на множестве вершин перестановочного многогранника посредством перестановок координат.

• Перестановочный многогранник является зонотопом; параллельная копия перестановочного многогранника может быть получена как сумма Минковского n(n − 1)/2 прямолинейных отрезков, соединяющих все пары векторов стандартного базиса.^[3]

• Неориентированный граф, образованный вершинами и рёбрами перестановочного многогранника, изоморфен графу Кэли симметрической группы.^[1]

Замощение пространства

Замощение пространства перестановочными многогранниками

Перестановочный многогранник порядка n полностью содержится в (n − 1)-мерной гиперплоскости, состоящей из всех точек, сумма координат которых равна

1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Более того, эта гиперплоскость может быть замощена бесконечным количеством параллельных копий перестановочного многогранника. Каждая из этих копий отличается от исходного перестановочного многогранника на элемент некоторой (n − 1)-мерной решётки, образованной n-мерными векторами, все координаты которых целочисленные, их сумма равна нулю, причём все координаты принадлежат одному классу вычетов по модулю n:

x₁ + x₂ + … + x_n = 0,     x₁ ≡ x₂ ≡ … ≡ x_n (mod n).

Например, перестановочный многогранник порядка 4, изображённый на рисунке, замощает 3-мерное пространство посредством параллельных переносов. Здесь 3-мерное пространство рассматривается как аффинное подпространство 4-мерноего пространства R⁴ с координатами x, y, z, w, которое образовано четвёрками вещественных чисел, сумма которых равна 10, то есть

x + y + z + w = 10.

Легко проверить, что для каждого из следующих четырёх векторов

(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) и (−3,1,1,1),

сумма координат равна нулю и все координаты сравнимы с 1 по модулю 4. Любые три из этих векторов порождают решётку параллельных переносов.

Замощения, построенные таким способом из перестановочных многогранников порядка 3 и 4, являются замощением правильными шестиугольниками и замощением усечёнными октаэдрами (англ.) соответственно.

Галерея

Порядок 2	Порядок 3	Порядок 4
2 вершины	6 вершин	24 вершины
Перестановочный многогранник порядка 2 — это отрезок на диагонали единичного квадрата.	Перестановочный многогранник порядка 3 — это правильный шестиугольник, являющийся сечением 2×2×2 куба.	Перестановочный многогранник порядка 4 — это усечённый октаэдр.

Порядок 5	Порядок 6
120 вершин	720 вершин
Перестановочный многогранник порядка 5.	Перестановочный многогранник порядка 6.