Периодическая группа

Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Экспонента (или период) периодической группы ${\displaystyle G}$ — это наименьшее общее кратное порядков элементов ${\displaystyle G}$, если таковое существует. Любая конечная группа имеет экспоненту — это делитель числа ${\displaystyle |G|}$.

Одна из ключевых задач теории групп — проблема Бёрнсайда — посвящена вопросу о соотношении между периодическими группами и конечными группами в классе конечнопорождённых групп, основной вопрос — следует ли из существования экспоненты конечность группы (в общем случае, ответ отрицательный).

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, как и группу Прюфера, являющуюся подгруппой ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Другой пример — объединение всех диэдральных групп. Ни одна из этих групп не имеет конечного числа образующих, и любая периодическая линейная группа с конечным числом образующих конечна. Примеры бесконечных периодических групп с конечным числом образующих были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (теорема Голода — Шафаревича), а также Алёшиным и Григорчуком с использованием теории автоматов.

Математическая логика

Одно из примечательных свойств периодических групп состоит в том, что они не могут быть формализованы средствами логики первого порядка. В противном случае потребовалась бы аксиома вида:

${\displaystyle \forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )}$,

содержащая бесконечную дизъюнкцию, а потому неприемлемая. Невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию с помощью бесконечного числа аксиом — из теоремы о компактности^[англ.] следует, что никакое множество формул первого порядка не может описать класс периодических групп^[1].

Связанные понятия

Подгруппа кручения абелевой группы ${\displaystyle A}$ — подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Абелева группа кручения — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения^[англ.] — абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом, имеющим конечный порядок.

См. также

• Кручение (алгебра)
• Теорема Жордана — Шура^[англ.]