Полупространство

Полупростра́нство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости в пространстве^[1][2][3], то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне плоскости^[3]. Эта плоскость определяет полупространство^[4] и является её границей^[1][2][3], а полупространство исходит из своей границы^[5], или просто полупространство от границы^[6].

Красная плоскость определяет синее полупространство

В некоторых источниках граница полупространства ему принадлежит, то есть полупространство замкнуто^[7][8][9].

Замкнутое полупространство — полупространство со своей границей^[1][2].

Полупространство есть неограниченная область, так как оно есть открытое множество^[10] и неограниченное выпуклое множество^[11].

Другое название полупространства — одногранник, это простейший трёхмерный выпуклый многогранник^[12].

Определение полупространства

Геометрическое определение

Полупространство — множество всех точек ${\displaystyle M}$ трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости ${\displaystyle P}$, что и некоторая заданная точка ${\displaystyle A}$ вне плоскости, то есть полупространство — это точка ${\displaystyle A}$ и множество всех точек ${\displaystyle M}$ таких, что отрезок ${\displaystyle AM}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle P}$^[13][14]. Эта плоскость определяет полупространство^[4] и является её границей^[1][2][3].

Теорема 1. Произвольная плоскость ${\displaystyle P}$ в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ вне плоскости ${\displaystyle P}$ такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью ${\displaystyle P}$ всё пространство и имеют своими границами ${\displaystyle P}$^[13].

Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным. При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства^[15].

Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию:

• ориентация плоскости,
• сторона плоскости,
• ориентация трёхмерного пространства —

любые два однозначно определяют третий^[16].

Обоснование определения

Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением^[17]:

${\displaystyle L(x,\ y,\ z)=Ax+By+Cz+D=0}$.

Точки, неразделённые плоскостью — две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, которые либо совпадают, ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$, либо отрезок ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M_{1}M_{2}\cup L=\varnothing }$^[17].

Предложение 1. Две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа ${\displaystyle L_{1}=L(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle L_{2}=L(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ одного знака^[17].

Доказательство^[14]

Положим без ограничения общности, что ${\displaystyle M_{1}\neq M_{2}}$. Тогда прямая ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ задаётся координатными параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=(1-t)x_{1}+tx_{2}}$,

${\displaystyle y=(1-t)y_{1}+yx_{2}}$,

${\displaystyle z=(1-t)z_{1}+tz_{2}}$.

Найдём пересечение прямой ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ с плоскостью ${\displaystyle L}$. Для этого подставим эти выражения координат в уравнение плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)=0}$, получим:

${\displaystyle (1-t)L_{1}+tL_{2}=0}$,

${\displaystyle t={\frac {L_{1}}{L_{1}-L_{2}}}}$

(если ${\displaystyle L_{1}=L_{2}}$, то прямая ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ и плоскость ${\displaystyle L}$ параллельны).

Итак, точки ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ разделены плоскостью ${\displaystyle L}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle L_{1}\neq L_{2}}$ и

${\displaystyle 0<t={\frac {L_{1}}{L_{1}-L_{2}}}<1}$.

Последние неравенства верны для произвольных точек ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ только в двух случаях:

• ${\displaystyle L_{1}>L_{2}}$, ${\displaystyle L_{1}>0}$, ${\displaystyle L_{2}<0}$;
• ${\displaystyle L_{1}<L_{2}}$, ${\displaystyle L_{1}<0}$, ${\displaystyle L_{2}>0}$.

Получаем, что в обоих случаях числа ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ разных знаков. Следовательно, отрезок ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ и плоскость ${\displaystyle L}$ не пересекаются тогда и только тогда, когда ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ одного знака.

Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности, причём соответствующих классов эквивалентности ровно два^[14].

Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство^[14].

Примеры полупространств

Рассмотрим два чисто математических примера^[18].

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром ${\displaystyle (x,\,y)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ изображается точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ представляется точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

• Полупространства
• 
  Все круги на плоскости образуют трёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$
• 
  Все сферы в трёхмерном пространстве образуют четырёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$

Аналитическое определение полупространства

Декартовы координаты

В общем трёхмерном случае в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}$ координаты точек ${\displaystyle 3}$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости

${\displaystyle Ax+By+Cz+D>0}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C,\,D}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю^[1][2][4].

Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$^[1][2].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^[19]:

• координатная плоскость ${\displaystyle Oxy}$ имеет уравнение с аппликатой ${\displaystyle z=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle z>0}$ и ${\displaystyle z<0}$ с границей ${\displaystyle Oxy}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oxz}$ имеет уравнение с ординатой ${\displaystyle y=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle y>0}$ и ${\displaystyle y<0}$ с границей ${\displaystyle Oxz}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oyz}$ имеет уравнение с абсциссой ${\displaystyle x=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle x<0}$ с границей ${\displaystyle Oyz}$;

Перейдём к ${\displaystyle n}$-мерному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}$. Здесь координаты точек ${\displaystyle n}$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b>0}$,

где ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n},\,b}$ — постоянные, причём ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}}$ одновременно не равны нулю^[4].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^[9]:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}>0\}}$

с границами

${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{n-1}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}=0\}.}$

Векторное пространство

В векторной нотации уравнение полупространства с границей, проходящей через заданную точку ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, записывается через скалярное произведение векторов как

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} )>(\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} _{0})}$,

или

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})>0}$,

где ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ — произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}$

в точке ${\displaystyle x_{0}}$, приячём вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ направлен от точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства^[20].

Банахово пространство

Полупространство банахова пространства — одно из множеств точек

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)>0\}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{-}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)<0\}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — банахово пространство, а ${\displaystyle \lambda (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — непрерывное линейное отображение (функционал на ${\displaystyle \mathbb {E} }$), при этом ядро линейного отображения ${\displaystyle \lambda (x)}$, на котором ${\displaystyle \lambda (x)=0}$, называется гиперплоскостью ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}}$ банахова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} }$^[8].

Теорема 1. Если ${\displaystyle \mu (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — другой функционал, причём ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\mathbb {E} _{\mu }^{+}}$, то найдётся такое число ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle \lambda =c\mu }$^[8].

Доказательство. Ядра ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ совпадают как границы ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}=\mathbb {E} _{\mu }^{0}}$ совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, и положим ${\displaystyle \lambda (x_{0})>0}$, ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {E} _{\lambda }^{+}}$. Тогда и ${\displaystyle \mu (x_{0})>0}$, так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал

${\displaystyle \lambda (x)-{\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}\mu (x)}$,

который обращается в нуль как на ядрах функционалов ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$, так и на векторе ${\displaystyle x_{0}}$. Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и ${\displaystyle c={\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}}$^[8].

Верхнее полупространство Зигеля

Обобщённая верхняя полуплоскость Зигеля^[21] (просто верхняя полуплоскость Зигеля^[22], или верхнее полупространство Зигеля^{[англ.][23][24]}) — область в пространстве комплексных симметричных матриц порядка ${\displaystyle p}$, образованная квадратными матрицами, мнимая часть которых положительно определена^[22].

Верхнее полупространство Зигеля есть одна из разновидностей область Зигеля первого рода, ассоциированная с конусом положительно определённых симметричных матриц порядка ${\displaystyle p}$. При ${\displaystyle p=1}$ верхнее полупространство Зигеля совпадает с обычной комплексной верхней полуплоскостью^[22].