Область Зигеля

О́бласть Зи́геля — неограниченная область ${\displaystyle D(V)}$ в комплексном аффинном пространстве, по сути аналог верхней полуплоскости в случае одного комплексного переменного, основанная на вещественном открытом выпуклом конусе ${\displaystyle V}$^[1][2].

Верхняя полуплоскость

Эта область названа в честь немецкого математика К. Зигеля, впервые использовавшего некоторый её частный случай в 1939 году^[1][2][3].

Верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля➤^[1].

Наиболее простые области Зигеля называются областями Зигеля 1-го рода➤, сложнее — 2-го рода➤ и ещё сложнее — 3-го рода➤. Области Зигеля 1-го рода — частные случаи областей Зигеля 2-го рода, а области 2-го рода — частные случаи областей Зигеля 3-го рода^[4].

Термин «область Зигеля» появился при изучении автоморфных функций многих комплексных переменных. Это центральное понятие в теории однородных ограниченных областей^[1].

В этой статье, так как по условию➤ конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, этот конус рассматривается в такой системе координат, в которой он принадлежит следующему ортанту➤^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$

Также в этой статье для областей Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ размерность линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, равна удвоенной размерности этой формы➤^[6].

Область Зигеля первого рода

Здесь будет определена область Зигеля 1-го рода➤, показано, что всякая область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ может быть биголоморфно отображена на некоторую ограниченную область➤, а также выяснен вид голоморфных автоморфизмов, оставляющих на месте «бесконечно удаленную точку» области ${\displaystyle D(V)}$➤^[5].

Определение области Зигеля первого рода

Обозначим через ${\displaystyle V}$ открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая. В этой статье используются только такие конусы^[5].

Область Зигеля 1-го рода — неограниченное множество ${\displaystyle D(V)}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z),}$ ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$^[1][5]:

${\displaystyle D(V)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z=x+iy,\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,y\in V\}.}$

При ${\displaystyle n=1}$ одномерный конус одномерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — это полупрямая, поэтому верхняя полуплоскость одного комплексного переменного — простейший пример области Зигеля 1-го рода^[1].

Отображение области Зигеля первого рода

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ биголоморфно эквивалентна некоторой ограниченной области, которая принадлежит прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов^[5].

Доказательство. По условию➤ конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту^[5]:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0.}$

Отсюда получаем, что произвольная область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит следующей ${\displaystyle n}$-мерной области^[5]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$

А эта область, в свою очередь, биголоморфно эквивалентна прямому произведению ${\displaystyle n}$ кругов, которое ограничено^[5]. □

Остов области Зигеля первого рода

Остов области Зигеля 1-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle z=x}$^[5]. Заметим, что вещественная размерность остова равна комплексной размерности ${\displaystyle n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$^[7].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ переходит сам в себя при любом автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, голоморфном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$^[8].

Доказательство. Обозначим через ${\displaystyle H_{\overline {D(V)}}}$ множество всех голоморфных в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функций, которые имеют максимум в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$. Тогда для любой голоморфной функции ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ найдётся точка остова, в которой функция ${\displaystyle f(z)}$ имеет максимум модуля^[5].

Обратно, для любой точки остова ${\displaystyle z'=(x'_{1},\,x'_{2},\,\dots ,\,x'_{n})}$ найдётся голоморфная функция ${\displaystyle f(z)\in H_{\overline {D(V)}}}$ с максимумом модуля в этой точке, например, следующая голоморфная функция^[5]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z_{1}-x'_{1}+i)(z_{2}-x'_{2}+i)\cdots (z_{n}-x'_{n}+i)}}}$. □

Автоморфизм области Зигеля первого рода

Прим доказательстве теоремы понадобится следующая формулировка леммы Чеботарёва^[8].

Лемма 1 (Чеботарёв). На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (\zeta )}$ функция ${\displaystyle f(\zeta )}$, аналитическая в открытой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta >0}$ при условии ${\displaystyle \operatorname {Im} f(\zeta )>0}$, непрерывная в замкнутой верхней полуплоскости ${\displaystyle \operatorname {Im} \zeta \geqslant 0}$ и принимающая вещественные значения на вещественной оси может быть представлена на верхней полуплоскости в следующем линейном виде:

${\displaystyle f(\zeta )=a\zeta +b}$,

где ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа^[8][9].

Теорема 1. Произвольный голоморфный автоморфизм области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, имеет следующий матричный линейный вид:

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — аффинное преобразование вещественного конуса ${\displaystyle V}$ на себя самого, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вещественный вектор^[8].

Доказательство^[8]

Не умаляя общности, предположим, что область Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ лежит в области

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{1}>0,\,\operatorname {Im} z_{2}>0,\,\dots ,\,\operatorname {Im} z_{n}>0,}$

и пусть

${\displaystyle z\to \varphi (z)=(\varphi _{1}(z),\,\varphi _{2}(z),\,\dots ,\,\varphi _{n}(z))}$

есть голоморфный автоморфизм ${\displaystyle D(V)}$, непрерывный в замыкании ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$.

Для любого ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n}$ и произвольной точки ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\in D(V)}$ сконструируем вспомогательную функцию ${\displaystyle f(\zeta )=\varphi _{k}(x_{0}+\zeta y_{0})}$, ${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }$. Эта функция удовлетворяет лемме Чеботарёва, следовательно, она линейная. Поэтому и ${\displaystyle z\to \varphi (z)}$ есть линейное преобразование

${\displaystyle \varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Az} +\mathbf {b} }$

комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — некоторая комплексная матрица, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — некоторый комплексный вектор.

Так как остов области Зигеля первого рода ${\displaystyle D(V)}$ nepeходит сама в себя при отображении ${\displaystyle \mathbf {z} \to \varphi (\mathbf {z} )}$ по теореме об автоморфизме остова➤, то ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ вещественны.

Запишем вещественную и мнимую части отдельно:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {z} )=\mathbf {Ax} +\mathbf {b} +i\mathbf {Ay} }$,

другими словами, если ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$, то тогда и ${\displaystyle \mathbf {Ay} \in V}$. С другой стороны, обратное преобразование ${\displaystyle \mathbf {z} \to \varphi ^{-1}(\mathbf {z} )}$ к преобразованию

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} +\mathbf {b} }$

можно записать как

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {z} -\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$,

следовательно, если ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$, то тогда и ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} \in V}$. Итак, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — матрица аффинного преобразования конуса ${\displaystyle V}$ на самого себя.

Элемент объёма в области Зигеля первого рода

Предложение 1. Произвольная ограниченная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ всегда содержит объём, инвариантный относительно её голоморфных автоморфизмов^[10].

Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y)dxdy,}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$.

Так как для области ${\displaystyle D(V)}$ возможно преобразование вида ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {z} +\mathbf {b} }$, где ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — произвольный вещественный вектор, то коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ не зависит от ${\displaystyle x}$, то есть инвариантный элемент объёма в области Зигеля 1-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет следующий вид^[10]:

${\displaystyle dv=\lambda (y)dxdy.}$

Кроме того, если ${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {Ay} }$ есть аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$, то тогда ${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$ — преобразование области ${\displaystyle D(V)}$, следовательно, имеем следуюшее равенство^[10]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

Связь с неприводимыми симметрическими областями

Математически интересны аналитически однородные области ${\displaystyle D(V)}$. Область ${\displaystyle D(V)}$ аналитически однородна, если конус ${\displaystyle V}$ линейно однороден, то есть для произвольных двух точек ${\displaystyle y_{1},\,y_{2}\in V}$ найдётся аффинное преобразование конуса ${\displaystyle V}$ на себя такое, что точка ${\displaystyle y_{1}}$ переходит в точку ${\displaystyle y_{2}}$. В таких областях инвариантный элемент объёма ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}}$^[10].

Предложение 1. Если ${\displaystyle V_{1}\in \mathbb {R} ^{n_{1}}}$, ${\displaystyle V_{2}\in \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ — однородные конусы, то множество всех точек ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2})}$, ${\displaystyle y_{1}\in V_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}\in V_{2}}$, составляет однородный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}}$^[10].

Неприводимый конус — конус, который нельзя разложить на два конуса как в предыдущем абзаце^[10].

Рассмотрим связь областей Зигеля 1-го рода с классическими областями — неприводимыми симметрическими типов I—IV, биголоморфно эквивалентными неприводимым конусам^[10].

Cоответствующие области Зигеля 1-го рода всех описанных ниже однородных конусов — симметрические^[11].

Область Зигеля первого рода типа I

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$ со следующими координатами^[10]:

${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,\operatorname {Re} y_{21},\,\operatorname {Im} y_{21},\,\dots ,\,\operatorname {Re} y_{p,\,p-1},\,\operatorname {Im} y_{p,\,p-1}.}$

Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p^{2}}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус^[10]. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ — эрмитово сопряжённая матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$^[12].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная эрмитова, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — положительно определённая эрмитова матрица^[12].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[12].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа I с условием ${\displaystyle p=q}$^[12].

Область Зигеля первого рода типа II

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — комплексные эрмитовы матрицы порядка ${\displaystyle 2p}$ со следующими условиями^[12]:

${\displaystyle \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {j} \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$.

Перепишем ${\displaystyle \mathbf {Y} =(\mathbf {y} _{ks})}$, ${\displaystyle k,\,s=1,\,\dots ,\,p}$, где ${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}}$ — матрицы порядка 2. Тогда условия перепишутся в виде

${\displaystyle \mathbf {y} _{ks}^{*}=\mathbf {y} _{sk}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}\mathbf {j} =\mathbf {j} {\bar {\mathbf {y} }}_{ks}}$,

откуда следуют соотношения

${\displaystyle \mathbf {y} _{kk}={\begin{pmatrix}u_{kk}&0\\0&u_{kk}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {y} _{ks}={\begin{pmatrix}u_{ks}&v_{ks}\\-{\bar {v}}_{ks}&{\bar {u}}_{ks}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle k<s}$, ${\displaystyle \quad u_{ks}=a_{ks}+ib_{ks}}$, ${\displaystyle \quad v_{ks}=c_{ks}+id_{ks}}$,

где ${\displaystyle u_{kk}}$, ${\displaystyle a_{ks}}$, ${\displaystyle b_{ks}}$, ${\displaystyle c_{ks}}$, ${\displaystyle d_{ks}}$ — вещественные числа, которые можно принять за координаты^[12].

Предложение 1. Так построенные матрицы ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ образуют пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$^[12].

Предложение 2. Множество точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(2p-1)}}$, которые соответствуют только положительно определённым эрмитовым матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют следующий вид^[12]:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{*}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle 2p}$, причём ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {A} }}}$. Построенный конус образован всеми положительно определёнными кватернионными матрицами^[13].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество комплексных квадратных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle 2p}$, где

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {X} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Y} }}}$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} ^{*}=\mathbf {Y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {Y} >0}$,

другими словами, ${\displaystyle \mathbf {Z} \mathbf {J} =\mathbf {J} {\bar {\mathbf {Z} }}}$ и матрица ${\displaystyle {\frac {1}{i}}(\mathbf {Z} -\mathbf {Z} ^{*})}$ положительно определена^[13].

Предложение 3. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[13].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа II с чётным ${\displaystyle p}$^[13].

Область Зигеля первого рода типа III

Пусть ${\displaystyle \mathbf {Y} =(y_{ks})}$ — все вещественные симметрические матрицы порядка ${\displaystyle p}$. Произвольной матрице ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ поставим в соответствие точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$ со следующими координатами^[13]:

${\displaystyle y_{11},\,\dots ,\,y_{pp},\,y_{21},\,\dots ,\,y_{p,\,p-1}.}$

Предложение 1. Множество точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p(p+1)/2}}$, которые соответствуют только положительно определённым симметрическим матрицам, составляют конус. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {Y} \mathbf {A} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — произвольная невырожденная комплексная матрица порядка ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ — транспонированная матрица матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$^[13].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество симметрических комплексных матриц ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle \mathbf {X} }$ — произвольная вещественная симметрическая матрица, а ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ — вещественная симметрическая положительно определённая матрица^[13].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle \mathbf {Z} =i\mathbf {E} }$ имеет вид ${\displaystyle \mathbf {Z} \to -\mathbf {Z} ^{-1}}$^[13].

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа III. Обычно её называют обобщённой верхней полуплоскостью Зигеля^[13].

Область Зигеля первого рода типа IV

Пусть конус в вещественном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ определяется следующими неравенствами^[13]:

${\displaystyle y_{1}y_{2}-y_{3}^{2}-\cdots -y_{n}^{2}>0}$, ${\displaystyle \quad y_{1}>0}$.

Предложение 1. Аффинные преобразования так определённого конуса имеют вид

${\displaystyle \mathbf {y} \to \mathbf {A} \mathbf {y} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {A} ^{T}\mathbf {H} \mathbf {A} =\lambda \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{matrix}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {E} \end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — произвольное положительное число^[11].

Конструируемую область Зигеля первого рода удобно задать как множество всех точек ${\displaystyle z=x+iy}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное, а ${\displaystyle y}$ лежит на конусе.^[11].

Предложение 2. Так построенная область симметрическая. Инволюция в точке ${\displaystyle z=(i,\,i,\,0,\,\dots ,\,0)}$ имеет следующий вид^[11]:

${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {-z_{2}}{\lambda (z)}},\,{\frac {-z_{1}}{\lambda (z)}},\,{\frac {z_{3}}{\lambda (z)}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n}}{\lambda (z)}}\right),}$

${\displaystyle \lambda (z)=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}-\cdots -z_{n}^{2}.}$

По классификации Э. Картана симметрических областей, построенная область биголоморфно эквивалентна симметрической области типа IV^[11].

Самосопряжённые однородные конусы

Э. Винберг создал классификацию аффинно однородных конусов и нашёл все самосопряженные^[11].

Самосопряжённый конус — конус ${\displaystyle V}$ такой, что в объемлющем пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ можно найти положительно определённую квадратичную форму ${\displaystyle H(x,\,y)}$, удовлетворяющую двум следующим условиям^[11]:

• для всех ${\displaystyle x,\,y\in V}$ форма ${\displaystyle H(x,\,y)>0}$;
• при произвольном ${\displaystyle x\notin {\bar {V}}}$ найдётся такой ${\displaystyle y\in V}$, что ${\displaystyle H(x,\,y)<0}$, где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$^[11].

Предложение 1. Самосопряженный конус обладает двумя свойствами: выпуклый; не содержит целой прямой^[11].

Предложение 2. Существуют только четыре бесконечные серии неприводимых самосопряжённых аффинно однородных конусов типов I—IV и один неприводимый конус в 27-мерном пространстве. Этот конус можно реализовать с помощью эрмитовых матриц третьего порядка над числами Кэли^[11].

Э. Винберг нашёл примеры аффинно однородных, несамосопряженных, выпуклых и не содержащих целой прямой конусов. Простейший — множество всех симметрических положительно определенных матриц ${\displaystyle Y=(y_{ks})}$, ${\displaystyle y_{31}=y_{13}=0}$, порядка 3^[14].

Область Зигеля второго рода

Здесь будет определена область Зигеля 2-го рода➤ и далее для таких исследованы проблемы, аналогичные рассмотренным для областей Зигеля 1-го рода➤^[15].

Простейший пример область Зигеля второго рода

Простейший пример область Зигеля второго рода — это область в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u|^{2}>0}$,

где ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle u}$ — числовые комплексные переменные^[15].

Предложение 1. Эта область есть решение следующей задачи: отобразить шар в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<1}$

в некоторую область ${\displaystyle D(V)\subset \mathbb {C} ^{2}}$ таким образом, чтобы любое преобразование шара, для которого заданная точка на границе шара неподвижна, было линейным преобразованием ${\displaystyle D(V)}$^[15].

Определение области Зигеля второго рода

Рассмотрим выпуклый конус ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$^{[комм 1]}, которому не принадлежит никакая прямая, и функцию ${\displaystyle F(u,\,v)\colon \mathbb {C} ^{m}\to \mathbb {C} ^{n}}$, в общем случае ${\displaystyle m\neq n}$, и определим V-эрмитовые вектор-функции, обобщающие эрмитовы положительно определенные формы^[15].

V-эрмитова вектор-функция — вектор-функция ${\displaystyle F(u,\,v)}$, для которой выполнены четыре условия^[15]:

• ${\displaystyle F(u,\,v)={\overline {F(u,\,v)}};}$
• ${\displaystyle F(\lambda u_{1}+\mu u_{2},\,v)=\lambda F(u_{1},\,v)+\mu F(u_{2},\,v),}$ ${\displaystyle \lambda ,\,\mu }$ — произвольные комплексные числа;
• ${\displaystyle F(u,\,u)\in {\bar {V}},}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$;
• ${\displaystyle F(u,\,u)=0}$ только при ${\displaystyle u=0.}$

Область Зигеля 2-го рода — множество всех точек ${\displaystyle (z,\,u)\in \mathbb {C} ^{n+m}}$, для которых выполняется следующее условие^[16]:

${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)\in V}$.

Предложение 1. Следующая область Зигеля 2-го рода в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m+1}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-|u_{2}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2}>0}$,

где ${\displaystyle z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}}$ — числовые комплексные переменные, биголоморфно эквивалентна следующему шару^[16]:

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+\cdots +|z_{m+1}|^{2}<1}$.

Доказательство. Пусть

${\displaystyle z_{1}={\frac {z-i}{z+i}},\,z_{2}={\frac {2u_{1}}{z+i}},\,\dots ,\,z_{m+1}={\frac {2u_{m}}{z+i}}}$^{[комм 1]},

тогда

${\displaystyle 1-\sum _{k=1}^{m+1}|z_{k}|^{2}={\frac {4}{|z+i|^{2}}}(\operatorname {Im} z-|u_{1}|^{2}-\cdots -|u_{m}|^{2})>0}$^{[комм 1]},

следовательно, предложение доказано^[16]. □

Отображение области Зигеля второго рода

Выше было показано, что произвольная область Зигеля 1-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ кругов. Докажем аналогичную теорему для произвольной области Зигеля 2-го рода➤^[16].

Теорема 1. Произвольная область Зигеля 2-го рода принадлежит области, отображаемой на прямое произведение ${\displaystyle n}$ шаров^[16].

Доказательство^[17]

По условию конус ${\displaystyle V}$ не может включать целую прямую, следовательно, имеется система координат такая, что в ней конус ${\displaystyle V}$ принадлежит следующему ортанту:

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$

Отсюда получаем, что все компоненты ${\displaystyle F_{k}(u,\,u),\,}$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\,}$ суть неотрицательно определённые эрмитовы формы от ${\displaystyle m}$ переменных ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{m}.}$

Произвольная такая форма ${\displaystyle F_{k}(u,\,u)}$ может быть записана как некоторая сумма квадратов линейных форм:

${\displaystyle F_{k}(u,\,u)=|L_{k1}|^{2}+|L_{k2}|^{2}+\cdots +|L_{ks_{k}}|^{2}.}$

Для доказательства теоремы сконструируем вектор-функции ${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(u,\,u)}$^{[комм 1]}, обладающие следующими двумя свойствами:

• область ${\displaystyle D(V)}$ принадлежит области ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$, которая определяется следующими неравенствами:

${\displaystyle \operatorname {Im} z_{k}-{\tilde {F}}_{k}(u,\,u)>0,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n;}$

• область ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$ биголоморфно эквивалентна произведению ${\displaystyle n}$ шаров.

1. Построение ${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(u,\,u)}$. Пусть ${\displaystyle {\tilde {F}}_{1}(u,\,u)=F_{1}(u,\,u).}$

Удалим из линейных форм ${\displaystyle L_{21},\,L_{22},\,\dots ,\,L_{2s_{2}}}$ формы, линейно выражающиеся через ${\displaystyle L_{11},\,L_{12},\,\dots ,\,L_{1s_{1}}.}$ Определим ${\displaystyle {\tilde {F}}_{2}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{2s}|^{2},}$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы.

Удалим из линейных форм ${\displaystyle L_{31},\,L_{32},\,\dots ,\,L_{3s_{2}}}$ формы, линейно выражающиеся через ${\displaystyle L_{ks},\,}$ ${\displaystyle k=1,\,2.}$ Определим ${\displaystyle {\tilde {F}}_{3}(u,\,u)=\sum _{s}'|L_{3s}|^{2},}$ где в суммировании под штрихом используются только неудалённые формы.

${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}(u,\,u)}$ конструируются аналогично, и так далее. При этом ${\displaystyle D(V)\subset {\widetilde {D}}(V)}$.

2. Эквивалентность произведению ${\displaystyle n}$ шаров. Из того, что, по определению, ${\displaystyle F(u,\,u)=0}$ только при ${\displaystyle u=0}$➤, следует. что уравнения

${\displaystyle L_{ks}=0,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\quad }$ ${\displaystyle s=1,\,2,\,\dots ,\,s_{k}}$

обладают единственным решением ${\displaystyle u=0}$. Поэтому количество неудалённых линейных форм равно ${\displaystyle m}$, причём они линейно независимы по построению. Пусть эти ${\displaystyle m}$ форм будут новыми переменными

${\displaystyle u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}.}$

В новых переменных

${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n},\,u'_{1},\,u'_{2},\,\dots ,\,u'_{m}}$

система неравенств, которой задаётся область ${\displaystyle {\widetilde {D}}(V)}$, имеют следующий вид:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\operatorname {Im} z_{1}-|u'_{1}|^{2}-|u'_{2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{1}}|^{2}>0,\\\operatorname {Im} z_{2}-|u'_{m_{1}+1}|^{2}-|u'_{m_{1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m_{2}}|^{2}>0,\\\cdots \\\operatorname {Im} z_{n}-|u'_{m_{n-1}+1}|^{2}-|u'_{m_{n-1}+2}|^{2}-\cdots -|u'_{m}|^{2}>0,\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{n-1}}$ — некоторые натуральные числа.

Наконец, остаётся принять во внимание, что любое из представленных неравенств определяет область Зигеля 2-го рода, биголоморфно эквивалентную шару➤.

Итак, произвольная область Зигеля 2-го рода биголоморфно эквивалентна ограниченной области в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+m}}$.

Остов области Зигеля второго рода

Остов области Зигеля 2-го рода — та часть границы ${\displaystyle \partial D(V)}$ области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$, которая состоит из точек вида ${\displaystyle (z,\,u)}$, причём ${\displaystyle \operatorname {Im} z=F(u,\,u)}$^[7]. Заметим, что в отличие от области Зигеля 1-го рода➤ вещественная размерность остова ${\displaystyle 3n}$ больше комплексной размерности ${\displaystyle 2n}$ всей области ${\displaystyle D(V)}$^[7].

Следующая теорема об автоморфизме остова аналогична теореме для области Зигеля 1-го рода➤^[7].

Теорема 1 (об автоморфизме остова). Остов области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ инвариантен, то есть переходит сам в себя, при любом голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$, непрерывном в замыкании области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$, причём при произвольном голоморфном автоморфизме области ${\displaystyle D(V)}$ точка на остове отображается либо в некоторую точку на остове, либо в бесконечность^[7].

Доказательство. Доказательство теоремы основано на двух предложениях^[7]:

• любая голоморфная в замкнутой области ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ функция, модуль которой имеет в ${\displaystyle {\overline {D(V)}}}$ максимум, имеет по крайней мере одну точку максимума модуля на остове;
• для любой точки остова всегда найдётся функция, модуль которой достигает в ней максимума. □

Линейное преобразование области Зигеля второго рода

Параллельный перенос области Зигеля 2-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими двумя преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$

где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$^[7].

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля второго рода есть нильпотентная группа класса 2 ${\displaystyle G}$, другими словами, её коммутант, то есть группа, порождённая элементами вида ${\displaystyle g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}}$, ${\displaystyle g_{1},\,g_{2}\in G}$, абелева^[7].

Предложение 2. При параллельных переносах области Зигеля второго рода разность ${\displaystyle \operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$^{[комм 1]} инвариантна. Любую точку ${\displaystyle (z,\,u)\in D(V)}$ параллельным переносом области Зигеля второго рода можно перевести в точку ${\displaystyle (iy,\,0)}$, где ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z-F(u,\,u)}$^[7].

Линейные преобразования области Зигеля 2-го рода не ограничиваются только параллельным переносом^[7].

Теорема 1. Произвольное линейное преобразование области Зигеля 2-го рода задаётся следующими двумя преобразованиями^[7]:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b,\end{cases}}}$

где любые ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle A}$ — линейное преобразование конуса на себя, ${\displaystyle B}$ — комплексное линейное преобразование, ${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$ для любых ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$^[18].

Доказательство^[18]

Рассмотрим следующее аффинное преобразование ${\displaystyle D(V)}$ на себя:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q.\end{cases}}}$

1. Доказательство ${\displaystyle Q'_{1}=0}$. Используем то, что при этом преобразовании остов инвариантен. Рассмотрим точку остова ${\displaystyle (0,\,0)}$. Её образ ${\displaystyle (r,\,q)}$ — тоже точка остова, следовательно,

${\displaystyle \operatorname {Im} r=F(q,\,q).}$

Умножая аффинное преобразование на подходящее преобразование параллельного переноса, получаем новое преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}}$

для которого ${\displaystyle r=q=0}$.

Точка остова ${\displaystyle (x,\,0),}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, отображается в точку ${\displaystyle (R'_{1}x,\,Q'_{1}x),}$ поэтому

${\displaystyle (\operatorname {Im} R'_{1})x=F(Q'_{1}x,\,Q'_{1}x)}$

для произвольного ${\displaystyle x}$. Левая часть этого соотношения линейна по ${\displaystyle x}$, а правая имеет вторую степень от ${\displaystyle x}$, отсюда ${\displaystyle \operatorname {Im} R'_{1},\,Q'_{1}=0.}$

2. Доказательство ${\displaystyle R'_{2}=0}$. Точка остова ${\displaystyle (iy,\,u),}$ ${\displaystyle y=F(u,\,u),}$ отображается в точку ${\displaystyle (iR'_{1}y+R'_{2}u,\,Q'_{2}u),}$^{[комм 1]} сразу получаем

${\displaystyle R'_{1}y+\operatorname {Im} R'_{2}u=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).}$

Заменим в этом равенстве переменную ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle e^{i\varphi }u}$, тогда

${\displaystyle R'_{1}y+\operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u=e^{i\varphi }e^{-i\varphi }F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u),}$

то есть ${\displaystyle \operatorname {Im} e^{i\varphi }R'_{2}u}$ не зависит от ${\displaystyle \varphi }$. Поэтому ${\displaystyle R'_{2}u=0}$, а по причине произвольности ${\displaystyle u}$ также и ${\displaystyle R'_{2}=0}$.

Итак, доказано, что

${\displaystyle {\begin{cases}z\to R'_{1}z+R'_{2}u,\\u\to Q'_{1}z+Q'_{2}u,\end{cases}}}$

а значит, и

${\displaystyle {\begin{cases}z\to R_{1}z+R_{2}u+r,\\u\to Q_{1}z+Q_{2}u+q\end{cases}}}$

имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to Bu+b.\end{cases}}}$

Подставим в

${\displaystyle R'_{1}y=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u)}$

равенство ${\displaystyle y=F(u,\,u),}$ получим:

${\displaystyle R'_{1}F(u,\,u)=F(Q'_{2}u,\,Q'_{2}u).}$

Теорема доказана.

Пример однородной области Зигеля второго рода

Рассмотрим множество ${\displaystyle \Omega }$ всех линейных преобразований ${\displaystyle A}$ конуса ${\displaystyle V}$, которые продолжаются до линейных преобразований всей области Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$, другими словами, при некотором комплексном линейном преобразовании ${\displaystyle B}$ выполняется следующее равенство^[18]:

${\displaystyle AF(u,\,v)=F(Bu,\,Bv)}$^{[комм 1]}.

Предложение 1. Область Зигеля второго рода ${\displaystyle D(V)}$ однородна➤, если соответствующее множество ${\displaystyle \Omega }$ линейных преобразований транзитивно действует на конусе ${\displaystyle V}$^[19].

Пример. Приведём пример однородной области. Учтём, что область Зигеля второго рода однозначно определяется конусом ${\displaystyle V}$➤ и V-эрмитовой вектор-функцией ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$➤^[19].

Рассмотрим конус ${\displaystyle V}$ эрмитовых положительно определённых матриц ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ порядка ${\displaystyle p}$➤. Для простоты и удобства пространство определения V-эрмитовой вектор-функции ${\displaystyle F}$ реализуем (смоделируем) как пространство размерности ${\displaystyle ps}$ всех комплексных прямоугольных матриц ${\displaystyle \mathbf {U} }$ размера ${\displaystyle p\times s}$. Теперь функцию ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ можно определить простой формулой

${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )=\mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}}$,

то есть функция ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )}$ есть квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, причём эрмитова матрица ${\displaystyle F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} )\in {\bar {V}}}$^[19].

Предложение 2. Все аффинные преобразования конуса ${\displaystyle V}$ образуют группу ${\displaystyle \Omega }$ всех его линейных преобразований➤^[19].

Доказательство. В построенном пространстве для его аффинных преобразований вида ${\displaystyle \mathbf {U} \to \mathbf {B} \mathbf {U} }$, где ${\displaystyle B}$ — произвольная невырожденная квадратная матрица порядка ${\displaystyle p}$, получаем^[19]:

${\displaystyle F(\mathbf {B} \mathbf {U} ,\,\mathbf {B} \mathbf {V} )=\mathbf {B} \mathbf {U} (\mathbf {B} \mathbf {V} )^{*}=\mathbf {B} \mathbf {U} \mathbf {V} ^{*}\mathbf {B} ^{*}=\mathbf {B} F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {V} )\mathbf {B} ^{*}.}$

Завершая доказательство, приведём вид всех аффинных^{[комм 1]} преобразований конуса ${\displaystyle V}$^[19]:

${\displaystyle \mathbf {Y} \to \mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{*}}$➤,

${\displaystyle AF(U,\,V)=F(BU,\,BV).}$

Предложение 3. Построенная область симметрическая, а следовательно, однородная^[19].

Доказательство. Инволюция

${\displaystyle (\mathbf {Z} ,\,\mathbf {U} )=(-\mathbf {Z} ^{-1},\,-i\mathbf {Z} ^{-1}\mathbf {U} )}$

имеет единственную неподвижную точку ${\displaystyle (-i\mathbf {E} ,\,\mathbf {0} )}$^[19].

Элемент объёма в области Зигеля второго рода

Найдём формулу инвариантного элемента объёма ${\displaystyle dv}$ в области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$. Пусть

${\displaystyle dv=\lambda (x,\,y,\,u_{1},\,u_{2})dxdydu_{1}du_{2},}$

где

${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$, ${\displaystyle \quad dy=dy_{1}dy_{2}\dots dy_{n}}$,

${\displaystyle u_{1}=\operatorname {Re} u}$, ${\displaystyle \quad u_{2}=\operatorname {Im} u}$, ${\displaystyle \quad du_{1}}$ и ${\displaystyle du_{2}}$ обозначают произведения соответствующих дифференциалов координат^[19].

Поскольку область Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеет автоморфизмы вида➤

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iF(u,\,b)+iF(b,\,b),\\u\to u+b,\end{cases}}}$

то имеем следующее равенство^[19]:

${\displaystyle \lambda =\lambda (\mathbf {y} -F(\mathbf {U} ,\,\mathbf {U} ))}$.

Кроме того, если у области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ имеется голоморфный автоморфизм

${\displaystyle \mathbf {z} \to \mathbf {Az} }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {u} \to \mathbf {Bu} }$,

то тогда получаем^[20]:

${\displaystyle \lambda (\mathbf {Ay} )(\det \mathbf {A} )^{2}(\det \mathbf {B} )^{2}=\lambda (\mathbf {y} )}$.

Отсюда для аффинной однородной области Зигеля 2-го рода ${\displaystyle D(V)}$ определяется коэффициент ${\displaystyle \lambda (\mathbf {y} )}$ с точностью до числового множителя^[20].

Область Зигеля третьего рода

Здесь будет определена область Зигеля 3-го рода➤ и исследованы некоторые её свойства. Такие области были созданы по той причине, что в ${\displaystyle n}$-мерном комплексном пространстве граница области неоднородна, то есть состоит из аналитические «кусочков» разных размерностей^[21].

В теории автоморфных функций от нескольких комплексных переменных большое значение имеет предельный переход такой, что точка внутри области стремится к граничной точке, которая лежит на некотором аналитическом «кусочке». Области Зигеля 3-го рода применяются при исследовании такого предельного перехода^[21].

Полуэрмитова форма

Пусть дана скалярная форма, то есть форма, принимающая числовые значения, ${\displaystyle L(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$^[21].

Полуэрмитова, или скалярная полуэрмитова, форма — скалярная форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, которая представляется в виде

${\displaystyle L_{0}(u,\,v)+L_{1}(u,\,v),}$

где ${\displaystyle L_{0}(u,\,v)}$ — эрмитова форма, ${\displaystyle L_{1}(u,\,v)}$ — симметричная билинейная форма^[21].

Предложение 1. Полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$ имеет следующие свойства^[21]:

• ${\displaystyle L(u,\,v)}$ по первому аргументу комплексно линейна, по второму — вещественно линейна;
• разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая.

Справедливо обратное утверждение^[21].

Теорема 1. Форма с указанными в предложении 1 свойствами полуэрмитова^[21].

Доказательство^[22]

Из линейности формы следует, что

${\displaystyle L(u,\,v)=\sum _{k,\,r=1}^{m}a_{kr}u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r},}$

тогда

${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)=\sum _{k,\,r=1}^{m}(a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-\sum _{k,\,r=1}^{m}b_{kr}v_{k}{\bar {u}}_{r},}$

и если приравнять нулю все переменные, кроме конкретных ${\displaystyle u_{k}}$ и ${\displaystyle v_{r}}$, то получим чисто мнимое число

${\displaystyle (a_{kr}-a_{rk})u_{k}v_{r}+b_{kr}u_{k}{\bar {v}}_{r}-b_{rk}v_{r}{\bar {u}}_{k},}$

следовательно,

${\displaystyle a_{kr}-a_{rk}\quad }$ и ${\displaystyle \quad b_{kr}={\bar {b}}_{rk}}$.

Предложение 2. Представление полуэрмитовой формы как суммы эрмитовой и симметричной билинейной формы единстванно^[22].

Векторная полуэрмитова форма — векторная форма, каждая компонента которой есть скалярная полуэрмитова форма^[22].

Невырожденная полуэрмитова форма — полуэрмитова форма ${\displaystyle L(u,\,v)}$, обладающая следующим свойством: если при всех ${\displaystyle u}$ имеет место равенство ${\displaystyle L(u,\,v_{0})=0}$, то ${\displaystyle v_{0}=0}$^[22].

Определение области Зигеля третьего рода

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — ограниченная область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}(t)}$, и любому ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ поставлена в соответствие невырожденная полуэрмитова форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, а ${\displaystyle V}$, как и в случае области Зигеля 1-го рода➤, — открытый выпуклый конус в вещественном ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём пересечение конуса ${\displaystyle V}$ с произвольной прямой пространства есть либо отрезок, либо полупрямая^[22].

Область Зигеля 3-го рода — множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ всех точек ${\displaystyle w=(z,\,u,\,t)\in \mathbb {C} ^{N}}$, ${\displaystyle N=n+m+t}$, для которых выполняется следующие два условия^[22]:

• ${\displaystyle \operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u)\in V,}$ ${\displaystyle \quad t\in {\mathcal {D}},}$^{[комм 1]}
• множество ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентно некоторой ограниченной области.

Пример 1. Простейший нетривиальный пример области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ состоит в следующем. Положим ${\displaystyle m=n=k=1}$, ограниченная область ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — единичный круг ${\displaystyle |t|<1}$ на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (x,\,y)}$, конус ${\displaystyle V}$ — полупрямая ${\displaystyle y>0}$, и пусть невырожденная полуэрмитова форма определена следующим образом^[23]:

${\displaystyle L_{t}(u,\,v)=(1-|t|^{2})^{-1}u{\bar {v}}+{\bar {t}}(1-|t|^{2})^{-1}uv.}$

Так определённая область ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ биголоморфно эквивалентна некоторой классической области типа III^[23].

Согласованные вектор-функции

Предложение 1. Произвольную область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ можно преобразовывать следующим образом:

${\displaystyle z\to z+a}$, ${\displaystyle \quad u\to u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$,

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любое^[23].

Биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, когда форма ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ есть биголоморфная функция от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ при произвольном ${\displaystyle u}$^[23].

Предложение 2. Множество всех согласованных с заданной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ вектор-функций есть линейное пространство над полем вещественных чисел^[23].

Пример 1. Продолжим пример 1 из предыдущкго раздела➤. Положим ${\displaystyle c(t)=c-t{\bar {c}}}$, где ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$. Получим^[23]:

${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))=u{\bar {c}}.}$

Пример демонстрирует, что если биголоморфная вектор-функция ${\displaystyle c(t)}$ согласована с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$, то функция ${\displaystyle c_{1}(t)=ic(t)}$ в общем случае не согласована^[23].

Значение и роль описанных выше согласованных вектор-функций определяются следующей теоремой^[23].

Теорема 1. Рассмотрим не обязательно биголоморфную вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$ на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$. Для этой вектор-функции следующее преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор, есть^[23]:

• биекция области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ на себя;
• биголоморфное отображение тогда и только тогда, когда функции ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$.

Доказательство^[24]

1. Биекция. Данное в условии теоремы преобразование сохраняет разность ${\displaystyle \operatorname {Im} z-\operatorname {Re} L_{t}(u,\,u),}$ то есть переводит область ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ в себя. Взаимная однозначность следует из существования обратного преобразования, получаемое заменой ${\displaystyle c(t)}$ на ${\displaystyle -c(t)}$.

2. Биголоморфное отображение. Если данное в условии теоремы преобразование биголоморфно, то и ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны как функции от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$.

Обратно. Пусть ${\displaystyle c(t)}$ и ${\displaystyle L_{t}(u,\,c(t))}$ биголоморфны как функции от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ для произвольного ${\displaystyle u}$. Достаточно доказать, что функция ${\displaystyle L_{t}(c(t),\,c(t))}$ биголоморфна. Функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))}$, где векторы ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ фиксированы, голоморфна от ${\displaystyle t_{1}}$ при фиксированном ${\displaystyle t_{2}}$, и наоборот. Отсюда по теореме Хартогса функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t_{1}),\,c_{2}(t_{2}))}$ биголоморфна от ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$. При ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ функция ${\displaystyle L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))}$ биголоморфна от ${\displaystyle t}$.

Предложение 3. Рассмотрим биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ вектор-функцию ${\displaystyle c(t)}$, согласованную с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$. Из свойства 4 вытекает, что для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$ если ${\displaystyle c(t_{0})=0}$, то ${\displaystyle c(t)=0}$^[6].

Доказательство. Рассмотрим преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle c(t)}$ — данная вектор-функция и ${\displaystyle a=0}$. Из свойства 4 вытекает, что это преобразование тривиально, то есть ${\displaystyle c(t)\equiv 0}$^[6].

Из этого доказательства также следует, что размерность ${\displaystyle \mu }$ линейного пространства вектор-функций ${\displaystyle c(t)}$, согласованных с формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$ и биголоморфных в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, не больше ${\displaystyle 2m}$. В дальнейшем в этой статье всегда ${\displaystyle \mu =2m}$^[6].

Параллельный перенос области Зигеля третьего рода

Параллельный перенос области Зигеля 3-го рода — аналог параллельного переноса, задаваемый следующими тремя преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор^[24].

Предложение 1. Множество параллельных переносов области Зигеля 3-го рода составляет группу ${\displaystyle \Delta }$. Как и в случае областей Зигеля 2-го рода➤, группа ${\displaystyle \Delta }$ есть нильпотентная группа класса 2➤. Группу ${\displaystyle \Delta }$ можно представить в виде множества пар ${\displaystyle (c,\,a)}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{\mu }}$, а ${\displaystyle \mu }$ — размерность пространства всех вектор-функций, согласованных с данной формой ${\displaystyle L_{t}(u,\,v)}$^[24].

Форма

${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})=i(L_{t}(c_{1}(t),\,c_{2}(t))-L_{t}(c_{2}(t),\,c_{1}(t)))}$

для произвольных фиксированных ${\displaystyle c_{1}(t)}$ и ${\displaystyle c_{2}(t)}$ биголоморфна по ${\displaystyle t}$ и всегда вещественна, так как разность ${\displaystyle L(u,\,v)-L(v,\,u)}$ чисто мнимая➤, и поэтому форма ${\displaystyle Q(c_{1},\,c_{2})}$ не зависит от ${\displaystyle t}$^[24].

Предложение 2. Формула

${\displaystyle (c_{1},\,a_{1})\times (c_{2},\,a_{2})=(c_{1}+c_{2},\,a_{1}+a_{2}+Q(c_{1},\,c_{2}))}$

задаёт закон композиции группы ${\displaystyle \Delta }$^[24].

Предложение 3. Из свойства 5 следует, что группа ${\displaystyle \Delta }$ — нормальный делитель в группе всех квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода^[25].

Квазилинейное преобразование области Зигеля третьего рода

Исследования областей Зигеля 1-го и 2-го рода основаны в том числе на группе их линейных преобразований➤. Но для областей Зигеля 3-го рода линейные преобразования заменяются на квазилинейные^[26].

Квазилинейное преобразование области Зигеля 3-го рода — биекция области Зигеля ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ вида

${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle B(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричные функции, ${\displaystyle a(u,\,t)}$ и ${\displaystyle b(t)}$ — биголоморфные в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ векторные функции, ${\displaystyle t\to g(t)}$ — голоморфный автоморфизм области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$^[26].

Приведём два общих свойства голоморфных автоморфизмов ограниченных областей, которые понадобятся при рассмотрении квазилинейных преобразований области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[26]:

(A) голоморфный автоморфизм ограниченной области, имеющей неподвижную точку, полностью определён матрицей Якоби в этой точке^[27] (используется при доказательстве свойства 5^[25]);

(B) последовательность голоморфных автоморфизмов ограниченной области компактна (то есть имеется подпоследовательность, сходящаяся в области) при наличии хотя бы одной точки, последовательность образов которой компактна в этой области^[28] (используется при доказательстве свойства 2^[29] и свойства 4^[6]).

Рассмотрим следующий голоморфный автоморфизм ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$:

${\displaystyle z\to \lambda ^{2}z}$, ${\displaystyle \quad u\to \lambda u}$, ${\displaystyle \quad t\to t}$,

где ${\displaystyle \lambda \in R}$ — любое. Наличие семейства голоморфных автоморфизмов вида ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ закономерно для областей Зигеля 3-го рода^[26].

Свойства квазилинейных преобразований области Зигеля третьего рода

Свойство 1. У любого квазилинейного преобразования➤

${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$

области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ матрица ${\displaystyle A(t)}$ не зависит от ${\displaystyle t}$. Линейное преобразование ${\displaystyle y\to Ay}$ есть биекция конуса ${\displaystyle V}$ на себя^[26].

Доказательство^[29]

При данном преобразовании точка ${\displaystyle (z,\,0,\,t)\in D(V,\,{\mathcal {D}})}$ отображается в точку ${\displaystyle (A(t)z+a(0,\,t),\,b(t),\,g(t))}$, и если эта точка лежит в области ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$, то

${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V}$

для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$.

Исходная точка ${\displaystyle (z,\,0,\,t)}$ принадлежит области ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z\in V}$, поэтому с ней принадлежит ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ также и точка ${\displaystyle (\lambda z,\,0,\,t)}$, где ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \lambda >0}$ — любое.

Подставим в

${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z+a(0,\,t))-\operatorname {Re} L_{t}(b(t),\,b(t))\in V}$

вместо ${\displaystyle z}$ переменную ${\displaystyle \lambda z}$ и перейдём к пределу при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, получим для произвольного ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$:

${\displaystyle \operatorname {Im} (A(t)z)\in {\bar {V}}}$, если ${\displaystyle \operatorname {Im} z\in V}$,

где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание конуса ${\displaystyle V}$. Следовательно, матрица ${\displaystyle A(t)}$ вещественная при произвольном ${\displaystyle t}$ и не зависит от ${\displaystyle t}$, поскольку биголоморфная функция только с вещественными значениями постоянна.

Доказательство заканчивается изучением обратного преобразования.

Свойство 2. Любая компонента вектора : ${\displaystyle a(u,\,t)}$ есть многочлен от ${\displaystyle u}$ не выше степени 2 с коэффициентами, которые могут зависеть от ${\displaystyle t}$^[29].

Доказательство^[29]

Рассмотрим квазилинейное преобразование ${\displaystyle \psi }$ вида

${\displaystyle {\begin{cases}z\to A(t)z+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$

Сконструируем семейство автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }=\psi _{\lambda }^{-1}\varphi \psi _{\lambda }}$, которое имеет следующий вид:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$

Можно доказать, что последовательность голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, рассматривая автоморфизм ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ в точке ${\displaystyle (z,\,0,\,t)}$➤. Из вида автоморфизмов ${\displaystyle \psi _{\lambda }}$ следует, что их последовательность компактна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ есть многочлен от ${\displaystyle u}$ не выше степени 2.

Свойство 3. Наряду с квазилинейным преобразованием

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to B(t)u+b(t),\\t\to g(t),\end{cases}}}$

следующее преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t)\end{cases}}}$

есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$, где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — множество членов степени 2 в многочлене ${\displaystyle a(u,\,t)}$^[29].

Доказательство^[6]

При доказательстве свойства 2 показано, что последовательность автоморфизмов

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t)\end{cases}}}$

компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, а из формы записи этой последовательности автоморфизмов следует, что они сходятся при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ к преобразованию

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\end{cases}}}$

Свойство 4. Рассмотрим точку ${\displaystyle t_{0}\in {\mathcal {D}}}$. Пусть ${\displaystyle \operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0}$ и ${\displaystyle b(t_{0})=0}$, тогда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ включает по ${\displaystyle u}$ только члены степени 2^[6].

Доказательство^[6]

${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})\in D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Im} z\in V}$. Поэтому если ${\displaystyle y\in V}$, то ${\displaystyle y+\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in V}$, следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}}$. Оперируя с обратным преобразованием, можно показать, что также и ${\displaystyle -\operatorname {Im} a(0,\,t_{0})\in {\bar {V}}}$. Поскольку конус ${\displaystyle V}$ лежит в положительном ортанте➤

${\displaystyle y_{1}>0,\,y_{2}>0,\,\dots ,\,y_{n}>0,}$

то ${\displaystyle \operatorname {Im} a(0,\,t_{0})=0}$, и ${\displaystyle a(0,\,t_{0})=0}$.

Итак, получается что последовательность голоморфных автоморфизмов

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+\lambda ^{-2}a(\lambda u,\,t),\\u\to B(t)u+\lambda ^{-1}b(t),\\t\to g(t).\end{cases}}}$

компактна при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, так как последовательность образов точки вида ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ компактна➤. Но компактность последовательности таких автоморфизмов при ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ осуществима только тогда, тогда ${\displaystyle a(u,\,t)}$ не имеет по ${\displaystyle u}$ членов степени 0 и 1.

Свойство 5. Квазилинейное преобразование при ${\displaystyle A=E}$, ${\displaystyle B(t)\equiv E}$, ${\displaystyle g(t)\equiv t}$ есть параллельный перенос➤ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[6], другими словами, это преобразование состоит в группе ${\displaystyle \Delta }$➤^[6].

Доказательство^[25]

Достаточно показать, что если при некотором ${\displaystyle t_{0}\in {\mathcal {D}}}$ для квазилинейного преобразования области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {Re} a(0,\,t_{0})=0}$ и ${\displaystyle b(t_{0})=0}$, то оно тождественно.

${\displaystyle a(0,\,t_{0})=0}$ вытекает из свойства 4➤, поэтому имеем неподвижную точку ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ для предложенного преобразования. Также из свойства 4➤ вытекает, что матрица Якоби предложенного преобразования в точке вида ${\displaystyle (z,\,0,\,t_{0})}$ совпадает с матрицей Якоби тождественного преобразования. Отсюда заключаем➤, что предложенное преобразование области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a(u,\,t),\\u\to u+b(t),\\t\to t\end{cases}}}$ —

тождественное, другими словами,

${\displaystyle a(u,\,t)\equiv 0}$, ${\displaystyle \quad b(t)\equiv 0}$.

Свойство 6. Рассмотрим преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)}$ — однородная форма степени 2 по ${\displaystyle u}$. Это преобразование есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$

для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)\equiv 0}$^[25].

Доказательство^[25]

Трансформируя следующее исходное преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z+a+2iL_{t}(u,\,c(t))+iL_{t}(c(t),\,c(t)),\\u\to u+c(t),\\t\to t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ — любой вектор, при помощи данного в условии преобразования

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

получим новое преобразование, которое сохраняет вид исходного согласно свойству 5➤, следовательно,

${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v).}$

Обратно, из последнего равенства непосредственно вытекает, что преобразование

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

есть голоморфный автоморфизм области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$.

Наконец, композиция преобразования

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az+a_{2}(u,\,t),\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

и преобразования. обратного к

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\end{cases}}}$

есть автоморфизм из группы ${\displaystyle \Delta }$➤, значит, ${\displaystyle a_{2}(u,\,t)\equiv 0}$.

Аналитическая однородность области Зигеля третьего рода

Рассмотрим несколько достаточных условий аналитической однородности➤ области Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$^[30].

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех линейных преобразований ${\displaystyle y\to Ay}$ конуса ${\displaystyle V}$ на себя, таких, что каждое имеет биголоморфную в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$, что

${\displaystyle L_{t}(B(t)u,\,B(t)v)=AL_{t}(u,\,v)}$

для произвольных ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$^[30].

И пусть ${\displaystyle G}$ — множество всех голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle g(t)}$ области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, таких, что каждое имеет^[30]:

• биголоморфную в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ матричную функцию ${\displaystyle B(t)}$;
• симметричную билинейную векторную форму ${\displaystyle K_{t}(u,\,v)}$ от пары векторов ${\displaystyle u,\,v\in \mathbb {C} ^{m}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, аналитически зависящую от ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$, причём выражение

${\displaystyle K_{t}(u,\,u)+L_{g(t)}(B(t)u,\,B(t)u)-L_{t}(u,\,u)}$^{[комм 1]}

чисто мнимое для произвольных ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle t\in {\mathcal {D}}}$.

Теорема 1. Область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$ аналитически однородна➤ при двух условиях^[30]:

• группа ${\displaystyle \Omega }$ транзитивна в конусе ${\displaystyle V}$;
• группа ${\displaystyle G}$ транзитивна в области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Доказательство^[30]

Непосредственно устанавливается, что следующие два преобразования суть голоморфные автоморфизмы область Зигеля 3-го рода ${\displaystyle D(V,\,{\mathcal {D}})}$:

${\displaystyle {\begin{cases}z\to Az,\\u\to B(t)u,\\t\to t,\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}z\to z-iK_{t}(u,\,u),\\u\to B(t)u,\\t\to g(t).\\\end{cases}}}$