Пятискатная ротонда

Пятиска́тная рото́нда^[1] — один из многогранников Джонсона (J₆, по Залгаллеру — М₉).

Пятискатная ротонда
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	17 граней 35 рёбер 20 вершин Χ = 2
Грани	10 треугольников 6 пятиугольников 1 десятиугольник
Конфигурация вершины	2x5(3.5.3.5) 10(3.5.10)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J6, М9
Группа симметрии	C5v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 17 граней: 10 правильных треугольников, 6 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью треугольными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя треугольными, 1 — пятью треугольными; среди треугольных граней 5 окружены десятиугольной и двумя пятиугольными, другие 5 — тремя пятиугольными.

Имеет 35 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, остальные 25 — между пятиугольной и треугольной.

У пятискатной ротонды 20 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и треугольная грани; в других 10 — две пятиугольных и две треугольных.

Пятискатные ротонды можно получить из икосододекаэдра, разрезав его на две равные части. Вершины каждого из двух полученных многогранников — 20 из 30 вершин икосододекаэдра, рёбра — 35 из 60 рёбер икосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатных ротонд существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосододекаэдра. Центры описанных и полувписанных сфер совпадают с центрами десятиугольных граней ротонд.

Метрические характеристики

Если пятискатная ротонда имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+\left(5+3{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 22{,}3472003a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 6{,}9177630a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,}$

высота ротонды (расстояние между десятиугольной и параллельной ей пятиугольной гранями) —

${\displaystyle H={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\;a\approx 1{,}3763819a.}$

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды больше высоты пятискатного купола (J₅) в ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi +1\approx 2{,}618}$ раз, где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.