Равнобедренная трапеция

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция — это выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Этот четырёхугольник является частным случаем трапеций. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (боковые) имеют одинаковые длины (свойство, которому удовлетворяет также параллелограмм). Диагонали также имеют одинаковые длины. Углы при каждом основании равны и углы при разных основаниях являются смежными (в сумме дающие 180º).

Равнобедренная трапеция
Тип	четырёхугольник, трапеция
Рёбра	4
Вид симметрии	Dih2, [ ], (*), порядок 2
Двойственный многоугольник	дельтоид
Свойства
выпуклый, вписанный

Специальные случаи

Специальные случаи трапеций

Прямоугольники и квадраты обычно рассматриваются как специальные случаи равнобедренных трапеций, хотя в некоторых источниках они таковыми не считаются.

Другим специальным случаем является трапеция с 3 равными сторонами. В англоязычной литературе её называют trilateral trapezoid (трёхсторонняя трапеция) ^[1], trisosceles trapezoid (триравнобедренная трапеция) ^[2] или, реже, symtra ^[3]. Такую трапецию можно рассматривать как отсечение 4 последовательных вершин от правильного многоугольника, имеющего 5 или более сторон.

Самопересечения

Любой несамопересекающийся четырёхугольник с единственной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо дельтоидом^[3]. Однако, если разрешить самопересечение, множество симметричных четырёхугольников нужно расширить включением в него самопересекающиеся равнобедренные трапеции, в которых пересекающиеся стороны равны, а две другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, у которых противоположные стороны имеют равные длины.

У любого антипараллелограмма выпуклая оболочка является равнобедренной трапецией и антипараллелограмм может быть получен из диагоналей равнобедренной трапеции^[4].

Выпуклая равнобедренная трапеция	Самопересекающаяся равнобедренная трапеция	Антипараллелограмм

Свойства

Если четырёхугольник является трапецией, не обязательно проверять, равны ли боковые стороны (и недостаточно, поскольку ромбы являются специальными случаями трапеций с боковыми сторонами равной длины, но у них нет осевой симметрии через середины оснований). Любое из следующих свойств выделяет равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали имеют одинаковую длину.
• Углы при основании равны.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Сумма противоположных углов равна 180°, из чего, в свою очередь, следует, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырёхугольниками.
• Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки. В терминах рисунка ниже, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE, если хотят исключить прямоугольники).

Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как "вписанный четырёхугольник с равными диагоналями" ^[5], как "вписанный четырёхугольник с парой параллельных сторон", или как "выпуклый четырёхугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон".

Углы

В равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны. На рисунке ниже углы ∠ABC и ∠DCB являются одинаковыми тупыми углами, а углы ∠BAD и ∠CDA являются одинаковыми острыми углами.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, принадлежащие противоположным основаниям, являются дополнительными, то есть ∠ABC + ∠BAD = 180°.

Диагонали и высота

Другая равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции равны. То есть любая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырёхугольником. Однако диагонали равнобедренной трапеции делятся в одной и той же пропорции. На рисунке диагонали AC и BD имеют одинаковую длину (AC = BD) и делят друг друга на отрезки той же длины (AE = DE и BE = CE).

Отношение, в котором делятся диагонали, равно отношению длин параллельных сторон, то есть

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно следствию из теоремы Птолемея, задаётся формулой

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$,

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC, а c — длина каждой боковой стороны AB и CD.

Высота, согласно теореме Пифагора, задаётся формулой

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD задаётся формулой

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$,

где a и b — длины оснований AD и BC, а h — высота трапеции.

Площадь

Площадь равнобедренной (а также любой) трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. На рисунке, если мы примем AD = a, BC = b, а высота h равна длине отрезка между прямыми AD и BC (перпендикулярного им), то площадь K задаётся формулой:

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}h}$.

Если вместо высоты трапеции известны длины боковых сторон AB =CD = c, то площадь можно вычислить по формуле Брахмагупты площади вписанных четырёхугольников. Равенство двух боковых сторон упрощает формулу до

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

где ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$ — полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона вычисления площади треугольника. Эту же формулу можно переписать в виде

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности задаётся формулой^[6]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

Для прямоугольника, в котором a = b, формула упрощается до ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$.

См. также

• Равнобедренная описанная трапеция

Литература

• George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. — J. Wiley & sons, 1896..
• William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. — The Century co., 1911..