Распределение Коши

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является классическим примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Распределение Коши
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению КошиПлотность вероятности
Цвета находятся в соответствии с графиком вышеФункция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {C} (x_{0},\gamma )}$
Параметры	${\displaystyle x_{0}}$ — коэффициент сдвига ${\displaystyle \gamma >0}$ — коэффициент масштаба
Носитель	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )}
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
Математическое ожидание	не существует
Медиана	${\displaystyle x_{0}}$
Мода	${\displaystyle x_{0}}$
Дисперсия	не существует
Коэффициент асимметрии	не существует
Коэффициент эксцесса	не существует
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )}$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	${\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)}$

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, имеющей вид:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$,

где

• ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ — параметр сдвига;
• ${\displaystyle \gamma >0}$ — параметр масштаба.

Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Коши и пишут ${\displaystyle X\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )}$. Если ${\displaystyle x_{0}=0}$ и ${\displaystyle \gamma =1}$, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

${\displaystyle F_{X}^{-1}(x)=x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].}$

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты

Так как интеграл Лебега

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x^{\alpha }f_{X}(x)\,dx}$

не определён для ${\displaystyle \alpha \geqslant 1}$, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ${\displaystyle \lim \limits _{c\rightarrow \infty }\int \limits _{-c}^{c}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}}$ ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства

• Распределение Коши бесконечно делимо.
• Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {C} (0,1)}$, то

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {C} (0,1)}$

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$, то

${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )}$.

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — независимые нормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1),\;i=1,2}$, то

${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \mathrm {C} (0,1)}$^[1][2].

• Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

${\displaystyle \mathrm {C} (0,1)\equiv \mathrm {t} (1)}$.

Появление в практических задачах

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее^[1]:

Если ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$, то ${\displaystyle \pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim }$ ${\displaystyle U}$(−${\displaystyle \pi /2,\pi /2}$), поэтому ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)}$. В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).

• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.