Спектр сигнала

У этого термина существуют и другие значения, см. Спектр (значения).

Спектр сигнала — коэффициенты разложения сигнала в базисе ортогональных функций^[1]. Называют также спектральным образом сигнала. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В радиотехнике для разложения обычно используются классическое преобразование Фурье; также применяют разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др^[1][2][3][4].

Базисные функции

Основная статья: Базисная функция

Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. В радиотехнике обычно осуществляют гармонический анализ сигнала, в качестве базисных функций используя синусоидальные функции. Это объясняется рядом обстоятельств:

• функции ${\displaystyle \cos(\omega t)}$, ${\displaystyle \sin(\omega t)}$ являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
• гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
• для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
• гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Обобщённый спектрально-аналитический метод предусматривает использование кроме гармонического ряда Фурье также и другие виды спектральных разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.^[3]

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление

Спектр периодического сигнала ${\displaystyle s(t)}$ имеет вид:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s(t)e^{-in\omega _{1}t}dt}$, где ${\displaystyle T}$ — период сигнала ${\displaystyle s(t)}$, ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi /T}$, ${\displaystyle n}$ — целое^[1].

Спектр непериодического сигнала ${\displaystyle s(t)}$ можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$) в виде:

${\displaystyle S(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt}$, где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота, равная ${\displaystyle 2\pi f}$.

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: ${\displaystyle S(\omega )=A(\omega )e^{-i\phi (\omega )}}$, где ${\displaystyle A(\omega )}$ — амплитудный спектр сигнала, ${\displaystyle \phi (\omega )}$ — фазовый спектр сигнала.

Если под сигналом ${\displaystyle s(t)}$ понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе на интервале времени ${\displaystyle (0,\ T)}$, будет равна ${\displaystyle E=\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt}$, средняя мощность — ${\displaystyle W={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt}$.

См. также

• Гармонический анализ
• Преобразование Фурье
• Спектральная плотность