Асферическое пространство

Эта статья — об асферических пространствах в алгебраической топологии в общем смысле. Об одноимённом понятии для симплектических многообразий см. симплектически асферическое многообразие.

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$, кроме ${\displaystyle n=1}$, тривиальны.

Каждое асферическое пространство ${\displaystyle X}$ по определению является пространством Эйленберга — Маклейна типа ${\displaystyle K(G,1)}$, где ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$ является фундаментальной группой ${\displaystyle X}$. Кроме того, оно является классифицирующим пространством^[англ.] для группы ${\displaystyle G}$, рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.

Свойства

• По теореме Уайтхеда^[англ.], CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо.

• Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.

• Для асферического пространства ${\displaystyle X}$ асферическое пространство и связного CW-комплекса ${\displaystyle K}$ любое непрерывное отображение из 2-мерного остова ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle X}$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём ${\displaystyle K}$. Кроме того, для любого гомоморфизма фундаментальных групп ${\displaystyle h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X}$ существует непрерывное отображение ${\displaystyle \varphi \colon K\to X}$, которое индуцирует ${\displaystyle h}$. Более того, ${\displaystyle \varphi }$ единственно с точностью до гомотопии.

• Прямое произведение асферических пространств — асферическое пространство.

Примеры

• Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими. Тор любой размерности асферичен.

• Любое гиперболическое многообразие^[англ.] асферично. Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально-CAT(0)-пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.

• Дополнение узла в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ является асферическим по теореме о сфере

• Любое нильмногообразие асферично.

• Бесконечномерное линзовое пространство ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}}$ асферично.

См. также

• Существенное многообразие

Ссылки

• Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.