Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению:

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$,

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta }$.

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$ (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$,

где ${\displaystyle a,b,c,d}$ являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ${\displaystyle ad-bc=1}$, то есть:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1}$,

определяет ${\displaystyle f}$ как модулярную форму порядка ${\displaystyle k}$.

Функциональные уравнения Коши:

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ — удовлетворяют все линейные однородные функции ${\displaystyle f(x)=ax}$,
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ — удовлетворяют все показательные функции ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}}$,
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$ — удовлетворяют все логарифмические функции ${\displaystyle f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)}$,
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$ — удовлетворяют все степенные функции ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}}$.

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$ приводится к уравнению ${\displaystyle g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})}$ после замены ${\displaystyle g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|}$ (для этого, естественно, нужно, чтобы ${\displaystyle f(x)}$ не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$. Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}$ — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет ${\displaystyle f(x)=kx^{2}}$,
• ${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$ — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции ${\displaystyle f(x)=ax+b}$,
• ${\displaystyle f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}}$ — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет ${\displaystyle f(x)=ac^{x}}$,
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]}$ — уравнение Даламбера,
• ${\displaystyle f(h(x))=f(x)+1}$ — уравнение Абеля,
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$ — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией ${\displaystyle \textstyle h(x)}$.

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

${\displaystyle a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)}$

(где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}}$ — константы, не зависящие от ${\displaystyle n}$) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)}$,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n}}$ с неопределённым параметром ${\displaystyle \lambda }$ и попробовать найти те ${\displaystyle \lambda }$, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение ${\displaystyle \lambda ^{2}=3\lambda +4}$ с двумя различными корнями ${\displaystyle \lambda =-1}$ и ${\displaystyle \lambda =4;}$ поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}}$ (константы ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ подбираются так, чтобы при ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ формула давала нужные значения для величин ${\displaystyle a(1)}$ и ${\displaystyle a(2)}$). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции ${\displaystyle n\lambda ^{n},}$ ${\displaystyle n^{2}\lambda ^{n}}$ и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является ${\displaystyle a(n)=a(n-1)+a(n-2)}$, определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых ${\displaystyle f(f(x))=x}$; простейшие инволюции:

${\displaystyle f(x)=-x}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+1}$, ${\displaystyle f(x)=1-x}$.

Функциональный метод решения уравнений.

Рассмотрение и использование инволюции.

Решить уравнение ${\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {f{\left({\dfrac {1}{1-x}}\right)}}={\dfrac {1-x}{x}}}$.

Шаг 0 Введём в рассмотрение функцию ${\displaystyle \tau (x)={\dfrac {1}{1-x}}}$. Вычислим ${\displaystyle {\tau }^{2}(x)}$. У нас получится: ${\displaystyle {\tau }^{2}(x)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{1-x}}}}={\dfrac {1-x}{1-x-1}}={\dfrac {x-1}{x}}={\tau }^{-1}(x).}$ Значит, ${\displaystyle {\tau }^{3}(x)=x}$. Шаг 1 Уравнение перепишется в виде: ${\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)}$. Шаг 2 Подставим везде, где есть ${\displaystyle x}$, функцию ${\displaystyle {\tau }^{-1}(x)}$. Получим: ${\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(\tau ({\tau }^{-1}(x))\right)}}=-{\tau }^{-1}({\tau }^{-1}(x))\Longrightarrow f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }^{-2}(x).}$ Но так как ${\displaystyle {\tau }^{2}(x)={\tau }^{-1}(x)}$, то ${\displaystyle {\tau }^{-2}(x)={\tau }(x)}$. Поэтому ${\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }(x)}$. Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод: ${\displaystyle f(x)={\dfrac {-{\tau (x)}}{f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}^{-1}(x)}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}.}$ Шаг 4 Подставим везде, где есть ${\displaystyle x}$, функцию ${\displaystyle {\tau }(x)}$. Имеем: ${\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}={\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}}.}$ Шаг 5 Наконец, ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{f{\left({\tau }(x)\right)}}={\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}.}$ Шаг 6 Подставим выражение ${\displaystyle {f{\left({\tau }(x)\right)}}}$ во вторую строчку системы. Итак, ${\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}}=-{\tau }^{-1}(x)\Longleftrightarrow f{\left(x\right)}\cdot f{\left(x\right)}={\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}.}$ Ответ: ${\displaystyle f{\left(x\right)}=\pm {\sqrt {\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}}=\pm {\dfrac {1}{x}}}$, или ${\displaystyle f{\left(x\right)}={\dfrac {1}{x}}\,\&\,x\neq 0.}$

Применим вычислительный метод.

Пример 1. Для решения уравнения:

${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}}$

для всех ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, положим ${\displaystyle x=y=0}$: ${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}}$. Тогда ${\displaystyle f(0)^{2}=0}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$. Далее, положив ${\displaystyle y=-x}$:

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит ${\displaystyle f(x)^{2}=0}$ для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ является единственным решением этого уравнения.

Другим методом является метод замены.

Пример 2. Решить: ${\displaystyle f\left({\dfrac {x-3}{x+1}}\right)+f\left({\dfrac {x+3}{1-x}}\right)=x}$.

Ясно, что ${\displaystyle x\notin \left\{-1;\,1\right\}}$.

Решить такое уравнение — значит отыскать функцию ${\displaystyle f(x)}$.

Введём обозначения: ${\displaystyle {\dfrac {x-3}{x+1}}\leftrightharpoons g\left(x\right)}$, а ${\displaystyle {\dfrac {x+3}{1-x}}\leftrightharpoons h\left(x\right)}$.

Тогда исходное уравнение приобретёт вид

${\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x.}$

Функции ${\displaystyle g\left(x\right)}$ и ${\displaystyle h\left(x\right)}$ связаны равенством

${\displaystyle g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=x.}$

Кроме того, выполняются соотношения:

${\displaystyle g\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\quad h\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right).}$

Значит, подставим по отдельности ${\displaystyle g\left(x\right)}$ и ${\displaystyle h\left(x\right)}$ в уравнение ${\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x}$.

Получим систему:

${\displaystyle {\begin{cases}f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\\f\left(h\left(x\right)\right)+f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{cases}}}$

Откуда будем иметь ${\displaystyle 2\cdot f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)}$.

Или, что то же самое, ${\displaystyle 2\cdot f\left(x\right)+x=g\left(x\right)+h\left(x\right)}$.

Следовательно, ${\displaystyle f\left(x\right)={\dfrac {g\left(x\right)+h\left(x\right)-x}{2}}={\dfrac {x^{3}+7x}{2-2x^{2}}}}$ при ${\displaystyle x\notin \left\{-1;\,1\right\}}$.

Введение неопределённых коэффициентов.

Это один из способов реализации алгебраического метода замены. Признак выбора указанного способа: по внешнему виду уравнения можно определить общий вид искомой функции (относится, прежде всего, к тем случаям, когда решения уравнений следует искать среди целых и дробно-рациональных функций).

Пример 3. Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена при всех действительных ${\displaystyle x}$ и удовлетворяет при всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ условию ${\displaystyle 2\cdot f{\left(x\right)}+{f{\left(1-{x}\right)}}=x^{2}}$. Найдите ${\displaystyle f{\left(x\right)}}$.

Так как в левой части уравнения над независимой переменной ${\displaystyle x}$ и значениями функции ${\displaystyle f}$ выполняются только линейные операции, а правая часть уравнения — квадратичная функция, то естественно предположить, что искомая функция, возможно, также квадратичная: ${\displaystyle f{\left(x\right)}=ax^{2}+bx+c}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — коэффициенты, подлежащие определению, т. е. неопределённые коэффициенты.

Подставляя функцию в уравнение, приходим к тождеству: ${\displaystyle 2\cdot {\left(ax^{2}+bx+c\right)}+a\cdot {\left(1-{x}\right)}^{2}+b\cdot {\left(1-{x}\right)}+c={x}^{2}}$, или, что то же самое, ${\displaystyle 3ax^{2}+\left(b-2a\right)x+{\left(a+b+3c\right)}={x}^{2}}$.

Два многочлена будут тождественно равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной: ${\displaystyle {\begin{cases}3a=1,\\b-2a=0,\\a+b+3c=0\end{cases}}}$.

Из этой системы находим коэффициенты ${\displaystyle a={\dfrac {1}{3}}}$, ${\displaystyle b={\dfrac {2}{3}}}$ и ${\displaystyle c=-{\dfrac {1}{3}}}$, а вместе с этим и функцию ${\displaystyle f{\left(x\right)}={\dfrac {1}{3}}\left(x^{2}+2x-1\right)}$, являющуюся искомым решением функционального уравнения.

Докажем приведением к нелепости, что других решений нет. Предположим, что функция ${\displaystyle \psi }$, отличная от ${\displaystyle f}$, на множестве всех действительных чисел также удовлетворяет условию задачи. Тогда существует такое ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle \psi {\left(x_{0}\right)}\neq f{\left(x_{0}\right)}}$. Значит, при ${\displaystyle x=x_{0}}$ и ${\displaystyle x=1-x_{0}}$ должны выполняться равенства: ${\displaystyle 2\cdot \psi {\left(x_{0}\right)}+\psi {\left(1-x_{0}\right)}={\left(x_{0}\right)}^{2}}$ и ${\displaystyle 2\cdot \psi {\left(1-x_{0}\right)}+\psi {\left(x_{0}\right)}={\left(1-x_{0}\right)}^{2}}$, из которых следует, что ${\displaystyle \psi {\left(x_{0}\right)}={\dfrac {1}{3}}\left({\left(x_{0}\right)}^{2}+2{x_{0}}-1\right)=f{\left(x_{0}\right)}}$, что невозможно по допущению. Полученное противоречие опровергает сделанное предположение.

Следовательно, задача имеет единственное решение. Ответ: ${\displaystyle f{\left(x\right)}={\dfrac {1}{3}}\left(x^{2}+2x-1\right)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Наконец, можно говорить о методе тождественных преобразований.

Пример 4. Решить уравнение ${\displaystyle f{\left(x\right)}=2x-{f{\left(1-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}$.

Рассмотрим правило ${\displaystyle f{\left({\mathcal {A}}\right)}=2\cdot {\mathcal {A}}-{f{\left(1-{\dfrac {1}{\mathcal {A}}}\right)}}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — произвольное математическое выражение. Продолжим "цепочку":

${\displaystyle f{\left(x\right)}=2x-{f{\left(1-{\dfrac {1}{x}}\right)}}=2x-\left[2\cdot \left(1-{\dfrac {1}{x}}\right)-{f{\left(1-{\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{x}}}}\right)}}\right]\Longleftrightarrow f{\left(x\right)}=2x-2+{\dfrac {2}{x}}+{f{\left({\dfrac {1}{x}}\right)}}}$.

Или: ${\displaystyle f{\left(x\right)}=2x-2+{\dfrac {2}{x}}+{f{\left({\dfrac {1}{x}}\right)}}=2x-2+{\dfrac {2}{x}}+\left\{2\cdot {\dfrac {1}{1-x}}-{f{\left(1-{\dfrac {1}{\dfrac {1}{1-x}}}\right)}}\right\}\Longleftrightarrow f{\left(x\right)}=2x-2+{\dfrac {2}{x}}+{\dfrac {2}{1-x}}-{f{\left(x\right)}}}$.

Последнее эквивалентно равенству ${\displaystyle f{\left(x\right)}=x-1+{\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {1}{x-1}}}$ при ${\displaystyle x\notin \left\{0;\,1\right\}}$, причём ${\displaystyle f{\left(0\right)}={\mathcal {C}}\;\And \;f{\left(1\right)}=2-{\mathcal {C}}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {R} }$.

Эта задача легко решается функциональным методом с элементами метода замены.

Литература

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Инволюция (Викиучебник)
• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.