ADE-классификация

${\displaystyle ADE}$-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы ${\displaystyle \pi /2}$ (отсутствие ребра между вершинами) или ${\displaystyle 2\pi /3}$ (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}}$.

Однониточные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты.

Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят ${\displaystyle F_{4}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$).

Список не является избыточным, если принять ${\displaystyle n\geqslant 4}$ для ${\displaystyle D_{n}}$. Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы^[англ.]

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»^[1].

Классы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

Алгебры Ли

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$ специальной линейной алгебре Ли^[англ.] операторов с нулевым следом,
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$ чётной специальной ортогональной алгебре Ли кососимметрических операторов
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах компактных алгебр Ли^[англ.] и соответствующих однониточных групп Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ алгебре специальной унитарной группы ${\displaystyle SU(n+1)}$;
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ алгебре чётной проективной ортогональной группы^[англ.] ${\displaystyle PSO(2n)}$,
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных компактных алгебр Ли^[англ.].

Бинарные полиэдральные группы

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп ${\displaystyle SU(2)}$, бинарной полиэдральной группы^[англ.]. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}}$, и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея^[англ.] (в честь Джона Маккея^[англ.]). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» ^[2]. Соответствие использует построение графов Маккея^[англ.].

При этом ${\displaystyle ADE}$-соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений^[англ.]. Например, в ${\displaystyle ADE}$-соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера ${\displaystyle A_{3},BC_{3}}$ и ${\displaystyle H_{3}.}$

Орбиобразие ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа ${\displaystyle ADE}$ в начале координат, которая называется дювалевской особенностью^[англ.].

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови^[англ.])^[3].

Помеченные графы

${\displaystyle ADE}$-графы и расширенные (аффинные) ${\displaystyle ADE}$-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами^[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа ^[5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» ^[6].

Аффинные ${\displaystyle ADE}$-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi }$.

Эквивалентно, положительные функции в ядре ${\displaystyle \Delta -I}$. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные ${\displaystyle ADE}$-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2}$.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для ${\displaystyle E_{8}}$ эти числа лежат в пределах от 58 до 270^[7].

Другие классификации

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью ${\displaystyle ADE}$-классификации.

Диаграммы ${\displaystyle ADE}$ являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля^[англ.].

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$=^[8]. Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle D}$ соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно^[9].

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику^{[уточнить]}.

Троицы

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»^[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами^[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} }$ (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея^[англ.]. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$ (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1}}$, соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$ (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о ${\displaystyle E_{8}}$^[15][16]. Маккей далее соотносит вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 2.B}$ (расширение порядка 2 группы Бэби-Монстр^[англ.]), а вершины ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ с классами смежности в ${\displaystyle 3.Fi_{24}'}$ (расширение порядка 3 группы Фишера)^[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, ${\displaystyle A_{4},S_{4}}$ и ${\displaystyle A_{5}}$ имеют связь с проективными специальными группами ${\displaystyle PSL(2,5)}$, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ (порядка 60, 168 и 660)^[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением ${\displaystyle p}$, таким, что ${\displaystyle PSL(2,p)}$ действует нетривиально на ${\displaystyle p}$ точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: ${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7}}$ и ${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$ Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)^[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на ${\displaystyle p}$ точек, следующие: ${\displaystyle PSL(2,5)}$ является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, ${\displaystyle PSL(2,7)}$ является группой симметрий квартики Клейна^?! (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и ${\displaystyle PSL(2,11)}$ является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея^[англ.] как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)^[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ и ${\displaystyle E_{8}}$ соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности^[англ.], 28 двойными касательными квартики^[англ.] и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4^[20][21].

См. также

• Эллиптическая поверхность^[англ.]