Плотный порядок

Плотный порядок — это отношение между элементами множеств в частичном или линейном порядке (обозначим его <) на множестве X, когда для всех x и y из X, для которых выполняется x < y, существует элемент z в X, такой что x < z < y. Иными словами, порядок называют плотным, когда нет соседних элементов. Поскольку между любыми двумя элементами плотного порядка есть ещё хотя бы один, любой отрезок плотного порядка бесконечен^[1].

Пример

Плотным упорядоченным множеством являются вещественные числа и рациональные числа с обычным порядком. С другой стороны, обычный порядок целых чисел плотным не является.

Единственность

Георг Кантор доказал^[англ.], что два любых плотных линейно упорядоченных счётных множества без нижней и верхней границ изоморфны относительно упорядочения^{[англ.][2]}. В частности, существует изоморфизм с сохранением порядка между рациональными числами и другими плотными счётными множествами, включая двоично-рациональные числа и алгебраические числа. В методе подбора^{[англ.][3]} используется доказательство этого результата.

Функция Минковского может быть использована для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и двоично-рациональными числами.

Обобщения

Бинарное отношение R считается плотным, если для всех связанных отношением R x и y, имеется z, такое что x и z, а также z и y связаны отношением R. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$

В терминах суперпозиции отношений^[англ.] R с собой, условие плотности может быть альтернативно выражено как ${\displaystyle R\subseteq RR}$^[4].

Достаточными условиями к тому, что бинарное отношение R на множестве X будет иметь плотный порядок, являются случаи когда:

• R рефлексивно;
• R корефлексивно;
• R квазирефлексивно;
• R лево- или право-евклидово;
• R симметрично и полуконнексно^[англ.] и X имеет ${\displaystyle \geqslant 3}$ элементов.

Ни одно из них не является необходимым. Непустое плотное отношение не может быть антитранзитивным.

Строго частичный порядок < является плотным порядком тогда и только тогда, когда < является плотным отношением. Плотное отношение является идемпотентным отношением^[англ.], когда оно также транзитивно.

См. также

• Плотное множество
• Плотное в себе подмножество^[англ.]
• Семантика Крипке — плотное отношение достижимости, которое соответствует аксиоме ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$