இரட்டைச் சார்பு

கணிதத்தில் இரட்டைச் சார்பு (even functions), என்பது கூட்டல் நேர்மாறைப் பொறுத்து சமச்சீர் உறவுகளுடைய சார்பு ஆகும்.

தனது ஆட்களத்திலும் வீச்சிலும் கூட்டல் நேர்மாறுடைய சார்புகளுக்கு மட்டுமே ஒற்றை மற்றும் இரட்டைத்தன்மை வரையறுக்கப்படுகிறது. கூட்டல் குலங்கள், வளையங்கள், களங்கள் ஆகியவை இத்தகைய கணங்களாக அமையும். இரட்டைச் சார்பு மெய்யெண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.

${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ என்ற சார்பு n இரட்டை முழு எண்ணாக இருக்கும்போது இரட்டைச் சார்பாகவும், n ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்போது ஒற்றைச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

வரையறையும் எடுத்துக்காட்டுகளும்

இரட்டைச் சார்புகள்

ƒ(x) = x², இரட்டைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

f(x) , மெய்யெண் மாறியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு, இரட்டைச் சார்பு எனில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

f இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து x களுக்கும்,

${\displaystyle f(x)=f(-x).\,}$

இரட்டைச் சார்பின் வரைபடம் y-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• தனிமதிப்புச் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$,
• ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$
• முக்கோணவியல் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=cosx,}$
• அதிபரவளையச் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=coshx,}$

பண்புகள்

• ஒரு சார்பு இரட்டைச் சார்பாக இருப்பதால் அது தொடர்ச்சியான சார்பாகவோ வகையிடத்தக்க சார்பாகவோ இருக்கும் என்று சொல்ல முடியாது.
• ${\displaystyle f(x)=0}$ என்ற மெய்யெண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலிச் சார்பு மட்டுமே ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்பாக உள்ளதொரு சார்பு.^[1]
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் கூடுதல் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
• ஏதேனுமொரு மாறிலியால் பெருக்கப்பட்ட இரட்டைச் சார்பு. மீண்டுமொரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வித்தியாசம் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கற்பலன் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
• ஒரு இரட்டைச் சார்பு மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் பெருக்கற்பலன் ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் ஈவு இரட்டைச் சார்பாகும்.
• இரட்டைச் சார்பின் வகைக்கெழு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
• ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்புகளின் ஈவு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
• ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்புகளின் தொகுப்பு ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
• f(x) ஒரு இரட்டைச் சார்பு எனில்

${\displaystyle \int _{-a}^{a}\!f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}\!f(x)\,dx\,}$

இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல்

• ஒவ்வொரு சார்பையும் ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

விளக்கம்:

அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ${\displaystyle f{(x)}}$ எனில் அதனை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle {\frac {f{(x)}}{2}}+{\frac {f{(x)}}{2}}+{\frac {f{(-x)}}{2}}-{\frac {f{(-x)}}{2}}}$.

${\displaystyle {\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}}+{\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}}$.

${\displaystyle g{(x)}={\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}},\,}$

${\displaystyle h{(x)}={\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}}$ என எடுத்துக் கொண்டால்,

${\displaystyle f{(x)}=g{(x)}+h{(x)}}$.

இதில்

${\displaystyle g{(-x)}={\frac {f{(-x)}+f{(x)}}{2}}=g{(x)}}$ என்பதால் ${\displaystyle g{(x)}}$ இரட்டைச் சார்பாகவும்,

${\displaystyle h{(-x)}={\frac {f{(-x)}-f{(x)}}{2}}=-{\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}=-h{(x)}}$ ${\displaystyle h{(x)}}$ ஒற்றைச் சார்பாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

• ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்போ அல்லது ஒற்றைச் சார்போ அல்ல. இரண்டில் ஒன்று அதன் ஆட்களம் முழுவதும் பூச்சியமாக இருந்தால் மட்டுமே இக்கூடுதல் சார்பு, இரட்டை அல்லது ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.

தொடர்கள்

• இரட்டைச் சார்புகளின் மெக்லாரின் தொடர், இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
• காலமுறை இரட்டைச் சார்புகளின் வூரியே தொடர் கொசைன் உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.

இயற்கணித அமைப்பு

• இரட்டைச் சார்புகளின் நேரியல் சேர்வு ஒரு இரட்டைச் சார்பு. மேலும் இந்த இரட்டைச் சார்புகள் மெய்யெண்களின் மீதான ஒரு திசையன் வெளியை அமைக்கும்.

அனைத்து மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் திசையன் வெளிகளும் இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் நேரியல் உள்வெளிகளின் நேரிடைக் கூடுதலாக (Direct Sum) அமைகின்றன.

எந்தவொரு சார்பு f(x) ஐ இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் தனித்ததொரு கூடுதலாகப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x)\,,}$

இதில்,

${\displaystyle f_{\text{e}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)+f(-x)]}$ ஓர் இரட்டைச் சார்பு;

${\displaystyle f_{\text{o}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)-f(-x)]}$ ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.

எடுத்துக்காட்டாக, f படிக்குறிச் சார்பு எனில், f_e என்பது cosh ஆகவும் f_o என்பது  sinh ஆகவும் இருக்கும்.