முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல்

வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனின்மைகள் அல்லது முக்கோணச் சமனிலிகள் (triangle inequalities) என்பவை முக்கோணத்தின் அளவுருக்களை உள்ளடக்கியச் சமனிலிகளாகும். முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய பெரும்பாலான சமனிலிகள் இக் கட்டுரையில் தரப்பட்டுள்ளன. இவை அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தக் கூடியவை. முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள், அரைச்சுற்றளவு, கோணஅளவுகள், அக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகள், பரப்பளவு, பக்கங்களின் நடுக்கோடுகள், குத்துக்கோடுகள், உட்கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள், பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள், உள் ஆரமும் வெளி ஆரங்களும் ஆகியவை முக்கோணச் சமனின்மைகளில் காணப்படும் பெரும்பாலான முக்கோண அளவுருக்கள் ஆகும். இங்கு தரப்படும் முக்கோணச் சமனின்மைகள் யூக்ளிடிய தளத்துக்குரியனவையாகும்.

முக்கிய அளவுருக்களும் அவற்றின் குறியீடுகளும்

முக்கோணச் சமனின்மைகளில் பெரும்பாலும் காணப்படும் அளவுருக்கள்:

முக்கோணத்தின்

• பக்க நீளங்கள் a, b, c;
• அரைச்சுற்றளவு s = (a+b+c) / 2 (சுற்றளவு p இல் பாதியளவு);
• a, b, c பக்கங்களுக்கு எதிராக அமையும் உச்சிகளின் கோண அளவுகள் A, B, C;
• கோணங்கள் A, B, C இன் முக்கோணவியல் சார்புகள்;
• பரப்பளவு T ;
• மூன்று நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் m_a, m_b, m_c;
• மூன்று குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள் h_a, h_b, h_c;
• மூன்று உட்கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள் t_a, t_b, and t_c ;
• முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கும், அந்த நடுப்புள்ளியில் வரையப்படும் நடுக்குத்துக்கோடு முக்கோணத்தின் மற்றொரு பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிக்குமிடைப்பட்ட கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் p_a, p_b, and p_c;
• முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சிக்கும் தளத்திலமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள்: தளத்திலமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி P எனில் PA , PB ‘ PC;
• உள்வட்ட ஆரம் r , வெளிவட்ட ஆரங்கள் r_a , r_b , and r_c , சுற்றுவட்ட ஆரம் R.

பக்க நீளங்கள்

முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களில் அமைந்த சில சமனிலிகள்:

• அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை:

${\displaystyle a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b}$

இதன் மாற்று வடிவம்:

${\displaystyle {\text{max}}(a,b,c)<s.}$

மேலும்,

• ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}$^{[1]:ப. 259}
• ${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$^{[2]:ப.250,#82}
• ${\displaystyle abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$^{[1]:ப. 260}
• ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.\quad }$^{[1]:ப. 261}
• ${\displaystyle {\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\geq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$^{[1]:ப. 261}
• ${\displaystyle a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0.}$^{[1]:ப. 261}
• கோணம் C விரிகோணம் எனில்:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

• கோணம் C குறுங்கோணம் எனில்:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

(கோணம் C செங்கோணம் எனில் பித்தகோரசு தேற்ற முடிவாக சமக்குறியுடன் அமையும்)

• பொதுவாக,^{[2]:ப.1,#74}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$

• முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தி அம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தினுள் இருந்தால்,^{[3]:ப. 153}

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$

• ${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}$^[1]:ப.267

a = b = c எனில், அதாவது சமபக்க முக்கோணங்களில் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியின் சமக்குறி பொருந்தும். மற்ற முக்கோணங்களுக்கு, பக்க நீளங்களின் இசைச் சராசரியானது பெருக்கல் சராசரியைவிடச் சிறியதாகவும், பெருக்கல் சராசரியானது கூட்டுச் சராசரியைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.

கோணங்கள்

முக்கோணத்தின் கோண அளவுகளில் அமைந்த சில சமனிலிகள்:

• ${\displaystyle \cos A+cosB+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$ ^{[1]:ப. 286}
• ${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$^{[2]:ப.21,#836}
• ${\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$ (சமக்குறியானது, சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்)^{[2]:ப.13,#608}
• ${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$ ^{[4]:தேற்றம்.1}
• ${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$ ^[1]:ப.286
• ${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$ ^{[1]:ப. 286}
• ${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$ ^{[5]:ப. 203}
• ${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }$^{[2]:ப.149,#3297} (${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$ தங்க விகிதம்)
• ${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}$ ^{[1]:ப. 286}
• ${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}$ ^{[1]:ப. 286}
• ${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$ ^[6]
• ${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$ ^{[2]:ப.187,#309.2}
• ${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}$ ^{[1]:ப. 264}

முக்கோணம் ABC இன் உட்புறத்திலுள்ள ஒரு புள்ளி D எனில், ∠BDC > ∠A.^{[1]:ப. 263}

• ABC ஒரு குறுங்கோண முக்கோணம் எனில்:^{[2]:ப.26,#954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

• ABC ஒரு விரிகோண முக்கோணம் எனில்:

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C>1,}$

பரப்பளவு

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு T இல் அமைந்த சில சமனிலிகள்:

• சமசுற்றளவுச் சமனிலி:

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$ (சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)^[7]

• வீட்சென்பாக்கின் சமனிலி (Weitzenböck's inequality)^{[1]:ப. 290}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$(சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)

• ஹேட்விகர்-ஃபின்ஸ்லர் சமனிலி (Hadwiger–Finsler inequality):

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

• ${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[8]:ப. 138}

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$^{[2]:ப.192,#340.3}

• ${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$ (சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)^{[1]:p. 290[8]:ப. 138}
• ${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3};}$^{[5]:ப. 204}
• ${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2};}$ ^{[5]:ப. 203}
• ${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$^{[2]:ப.111,#2807}
• ${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$^{[2]:p.88,#2188}
• குறுங்கோண முக்கோணங்களில்:

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

• ஒரு முக்கோணத்தின் மற்றும் அதன் உள்வட்டப் பரப்பளவுகளின் விகிதம்:

${\displaystyle {\frac {\text{உள்வட்டப் பரப்பளவு}}{\text{முக்கோணத்தின் பரப்பளவு}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$^[9] (சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)

• ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கொண்ட துண்டுகளாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளை உச்சிகளாகக்கொண்டு, அம் முக்கோணத்துக்குள் ஒரு உள்முக்கோணம் வரையப்பட்டால் அவற்றின் பரப்பளவுகளின் விகிதம்^{[8]:ப. 138}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

• A, B, C கோணங்களின் உட்கோண இருசமவெட்டிகள் எதிர்ப்பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் D, E, F எனில்^{[2]:ப.18,#762}

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

நடுக்கோடுகளும் நடுக்கோட்டுச்சந்தியும்

• ${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$ ^{[1]:ப. 271}
• ${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$ ^{[2]:ப.12,#589}
• ${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}$ ^{[2]:ப.22,#846}
• நடுக்கோடுகளின் நீட்சியானது முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் M_a , M_b , M_c எனில்,^{[2]:p.16,#689}

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}$

• நடுக்கோட்டுச்சந்தி G ; AG, BG, CG மூன்றும் சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் U, V, W எனில்,^[2]:p.17#723

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$^{[2]:ப.156,#S56}

• குறுங்கோண முக்கோணத்தில்^{[2]:ப.26,#954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

• விரிகோண முக்கோணத்தில்

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}<6R^{2}}$

• முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம் I எனில்:^{[2]:ப.192,#339.3}

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {3}{4}}.}$

குத்துக்கோடுகள்

• ${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$^{[1]:ப. 274}
• ${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$
• ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$ எனில்^[2]:222,#67

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

• மேலும்^{[2]:ப.140,#3150}

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}$

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$ ^{[2]:p.125,#3005}

உட்கோண இருசமவெட்டிகளும் உள்வட்டமும்

• ${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {3}{2}}(a+b+c)}$
• ${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$
• ${\displaystyle h_{b}\leq t_{b}\leq m_{b}}$
• ${\displaystyle h_{c}\leq t_{c}\leq m_{c}}$^{[1]:pp. 271–3}
• ${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$^{[2]:ப.224,#132}
• சுற்றுவட்டம்வரை நீட்டிக்கப்படும் உட்கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள் T_a , T_b , T_c எனில்:^{[2]:ப.11,#535}

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

(சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)^{[2]:p.14,#628}

• ${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$^{[2]:ப.14,#628}

(சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)

• ${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$^{[2]:p.20,#795}
• உள்வட்ட மையம் I எனில்,^{[2]:ப.127,#3033}

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$

• முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் L, M, N எனில்,^{[2]:ப.152,#J53}

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள்

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகளின் முக்கோணத்துக்குள் அமையும் பகுதிகளின் நீளங்கள், p_a, p_b, p_c. மேலும் ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ எனில்,^[10]

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

உள்வட்ட ஆரமும் சுற்றுவட்ட ஆரமும்

• ஆய்லரின் சமனிலி:

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2.}$

• இதைவிட அழுத்தமான சமனிலி:^{[5]:p. 198}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

• ஒப்பீட்டில்:^{[2]:p.183,#276.2}

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

இச் சமனிலியின் வலதுபக்கம் நேர் அல்லது எதிர் மதிப்பாக இருக்கலாம்.

• ஆய்லரின் சமனிலியை மேம்படுத்திப் பெறப்பட்ட வேறு இரு சமனிலிகள்^{[2]:ப.134,#3087}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2}$

${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.}$

• மேலும்,

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}$^[1]:288

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}$^{[2]:ப.20,#816}

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$^{[5]:ப. 201}

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$ ^{[5]:ப. 201}

${\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}$ ^{[2]:ப.17#708}

${\displaystyle 2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}}$

${\displaystyle \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}}$^{[5]:ப. 206}

${\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.}$^{[1]:ப. 291}

${\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}$^{[5]:p. 206}

• உள்வட்ட மையம் I . AI, BI, CI மூன்றும் I ஐத் தாண்டி, சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் D, E, F எனில்,^{[2]:ப.14,#644}

${\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}$

• ${\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$^{[2]:ப.193,#342.6}

சுற்றுவட்ட ஆரமும் பிற நீளஙகளும்

• ${\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}$^{[2]:ப.101,#2625}
• ${\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}$^{[2] :ப.35,#1130}
• மேலும்,^{[1]:pp. 287–90}

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}$

${\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}$

• குத்துக்கோடுகளில்,

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

• நடுக்குத்துக்கோடுகளில்,

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}$

• பரப்பளவில்,^{[2]:ப.26,#957}

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}}$

• மேலும் சுற்றுவட்ட மையம் O . AO, BO, CO மூன்று கோடுகளும் எதிர்ப் பக்கங்கள் BC, CA, AB ஐச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் U , V , W எனில்,^{[2]:p.17,#718}

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$

• குறுங்கோண முக்கோணத்தில், சுற்றுவட்ட மையம் O மற்றும் செங்குத்து மையம் H இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு,^{[2]:p.26,#954}

${\displaystyle OH<R,}$

• விரிகோண முக்கோணத்தில், சுற்றுவட்ட மையம் O மற்றும் செங்குத்து மையம் H இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு,^{[2]:p.26,#954}

${\displaystyle OH>R,}$

உட்சதுரங்கள்

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்திற்குள் மூன்று சதுரங்கள் வரையலாம். அவ்வாறு வரையப்படும் சதுரத்தின் ஒரு பக்கம் முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினுடைய ஒரு பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களிலும் அமையும். (ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்குள் இரு சதுரங்கள் மட்டுமே வரைய முடியும்) இவ்வாறு வரையப்படும் சதுரங்களில் ஒன்றின் பக்க நீளம் x_a மற்றும் வேறொன்றின் நீளம் x_b; மேலும் x_a < x_b எனில்,^{[11]:p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

மேலும் எந்தவொரு முக்கோணத்துக்குள்ளும் வரையப்படும் சதுரத்தின் பரப்பளவும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவும் பின்வருமாறு அமையும்:^{[2]:p.18,#729[11]}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.}$

ஆய்லர் கோடு

ஒரு முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோடானது, முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, சுற்றுவட்ட மையம், நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழிச் செல்லும். ஆனால், இருசமபக்க முக்கோணம் தவிர, பிற முக்கோணங்களுக்கு ஆய்லர் கோடு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம் வழிச் செல்லாது. இருசமபக்க முக்கோணமற்ற பிற முக்கோணங்கள் அனைத்திற்கும்:^{[12]:ப. 234}

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

• உள்வட்ட மையத்திலிருந்து ஆய்லரின் கோட்டின் தொலைவு d *முக்கோணத்தின் பெரிய நடுக்கோட்டின் நீளம் v
• முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் u
• முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு s

செங்கோண முக்கோணம்

a , b தாங்கு பக்கங்களையும் c செம்பக்கத்தையும் உடைய செங்கோண முக்கோணத்தில்:^{[1]:ப. 280}

• ${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

இருசமபக்க முக்கோணத்தில் மட்டும் சமக்குறி உண்மையாகும். மேலும்,

• ${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$ ^{[1]:ப. 281}
• ${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).}$ ^{[1]:ப. 282}

இருசமபக்க முக்கோணம்

ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்களின் நீளம் a மற்றும் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளம் c, சமகோணங்களில் ஒன்றின் உட்கோண இருசமவெட்டி t எனில்:^{[2]:ப.169,#${\displaystyle \eta }$44}

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$

சமபக்க முக்கோணம்

சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி P . இப்புள்ளியானது முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது இல்லாமல் இருந்தால் மட்டும், PA, PB, PC மூன்றும் கீழ்க்காணும் சமனிலிகளை நிறைவு செய்யும்:^{[1]:ப. 279}

${\displaystyle PA+PB>PC,\quad PB+PC>PA,\quad PC+PA>PB.}$

அதாவது PA, PB, PC மூன்றும் அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே அவை மூன்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமைகின்றன.

P சுற்றுவட்டத்தின் மீது அமையும்போது P க்கும் அதன் அருகேயுள்ள இரு முக்கோண உச்சிகளுக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவுகளின் கூடுதல் P லிருந்து தொலைவிலுள்ள முக்கோண உச்சிக்கும் P க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒரு முக்கோணம் ABC இன் தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி P க்கும் அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவுகள் PD, PE, PF மற்றும் முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் P க்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவுகள் PA, PB, PC கீழுள்ளவாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, முக்கோணம் ABC சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்:^{[2]:ப.178,#235.4}

${\displaystyle 4(PD^{2}+PE^{2}+PF^{2})\geq PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}.}$