Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Ідеальна точка
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка[1] — це цілком визначена[en] точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.

На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.
Ідеальні точки разом утворюють абсолют Келі[en] або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини[2].
Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою[3].
Remove ads
Властивості
Многокутники з ідеальними вершинами
Узагальнити
Перспектива
Ідеальні трикутники
Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.
Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:
Ідеальні чотирикутники
Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.
Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:
- Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
- Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
- Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу , де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.
Ідеальний квадрат
Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.
Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт[ru] у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії[5].
Ідеальні n-кутники
n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).
Remove ads
Подання в моделях гіперболічної геометрії
Узагальнити
Перспектива
У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.
Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.
Дискова модель Клейна
Якщо дано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть в порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Дискова модель Пуанкаре
Якщо задано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть у порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків , , , .
Модель півплощини Пуанкаре
У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі , наближаються до неї).
Гіперболоїдна модель
У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.
Remove ads
Див. також
- Ідеальний трикутник
- Нескінченно віддалена точка в інших геометріях.
Примітки
Література
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads