Бета-розподіл

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Бета.

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів.

Бета-розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,1]\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Характеристична функція	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$ ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
Інформація за Фішером	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}$

Означення

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задаєтся густиною ймовірності ${\displaystyle f_{X}}$, що має вигляд:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$,

де

• ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ довільні фіксовані параметри, і
• ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}$ — бета-функція.

Тоді випадкова величина ${\displaystyle X}$ має бета-розподіл. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$.

Форма графіка

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$.

• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$ — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$ чи ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}$ — графік строго спадний (синя крива)
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}$ — графік строго опуклий;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}$ — графік є прямою лінією;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}$ — графік строго ввігнутий;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$ графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}$ або ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$ — графік строго зростаючий (зелена крива);
  • ${\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}$ — графік строго опуклий;
  • ${\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}$ — графік є прямою линією;
  • ${\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}$ — графік строго ввігнутий;
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$ — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли ${\displaystyle \alpha =\beta }$, густина ймовірності симетична відносно ${\displaystyle 1/2}$ (червона та пурпурова криві), то

${\displaystyle f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]}$.

Моменти

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини ${\displaystyle X}$, що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

${\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}$

• Якщо ${\displaystyle X,Y}$ — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому ${\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}$, а ${\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}$, то

${\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$

Апріорний розподіл Голдейна

${\displaystyle B(0,0)}$: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,^[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p⁻¹(1−p)⁻¹. Функцію p⁻¹(1−p)⁻¹ можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p⁻¹(1−p)⁻¹ розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.