Матрична еквівалентність

У лінійній алгебрі дві прямокутні матриці ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ розміру ${\displaystyle m\times n}$ називають еквівалентними, якщо

${\displaystyle B=Q^{-1}AP}$

для деякої оберненої матриці ${\displaystyle P}$ розміром ${\displaystyle n\times n}$ і деякої оберненої матриці ${\displaystyle Q}$ розміром ${\displaystyle m\times m}$. Еквівалентні матриці представляють те саме лінійне перетворення ${\displaystyle V}$ → ${\displaystyle W}$ при двох різних виборах пари базисів ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$, де ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ є зміною базисних матриць у ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ відповідно.

Поняття еквівалентності не слід плутати з поняттям подібності, яке визначено лише для квадратних матриць і є більш обмежувальним (подібні матриці, звичайно, еквівалентні, але еквівалентні квадратні матриці не обов'язково будуть подібними). Це поняття відповідає матрицям, що представляють той самий ендоморфізм ${\displaystyle V}$ → ${\displaystyle V}$ при двох різних виборах одного базису ${\displaystyle V}$, що використовується як для початкових векторів, так і для їх образів.

Властивості

Еквівалентність матриць — це відношення еквівалентності на просторі прямокутних матриць.

Для двох прямокутних матриць однакового розміру можна охарактеризувати їх еквівалентність наступними умовами:

• Матриці можуть бути перетворені одна в одну комбінацією елементарних операцій над рядками та стовпцями.
• Дві матриці еквівалентні тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий ранг.

Ці матриці еквівалентні рядки, то матриці також еквівалентні. Однак зворотне не вірно; еквівалентні матриці, не обов'язково мають еквівалентні рядки. Таким чином, еквівалентність матриць є узагальненням еквівалентності рядків.^[1]

Канонічна форма

Властивість рангу дає інтуїтивно зрозумілу канонічну форму для матриць класу еквівалентності рангу ${\displaystyle k}$ як

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}}$,

де кількість одиниць на діагоналі дорівнює ${\displaystyle k}$. Це окремий випадок нормальної форми Сміта, яка узагальнює цю концепцію на векторні простори до вільних модулів над областями головних ідеалів. Таким чином:

Теорема: Будь-яка ${\displaystyle m\times n}$ матриця рангу ${\displaystyle k}$ є еквівалентною матриці ${\displaystyle m\times n}$, у якій усі нулі, крім перших ${\displaystyle k}$ діагональних елементів, які є одиницями.

Наслідок: Класи еквівалентних матриць характеризуються рангом: дві матриці однакового розміру є еквівалентними тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий ранг.^[1]

Матриці 2 на 2

Матриці ${\displaystyle 2\times 2}$ мають лише три можливі ранги: 0, 1 або 2. Це означає, що всі матриці ${\displaystyle 2\times 2}$ еквівалентні одному з трьох класів матриць:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Це означає, що будь-яка ${\displaystyle 2\times 2}$ матриця еквівалентна одній із цих. Існує лише одна матриця нульового рангу, але інші два класи мають нескінченну кількість членів. Представлені вище матриці є найпростішими два кожного з класів.

Подібність матриці

Подібність матриць є окремим випадком еквівалентності матриць. Якщо дві матриці подібні, то вони також еквівалентні. Однак зворотнє твердження невірне.^[2] Наприклад, наступні дві матриці є еквівалентними, але не є подібними:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$

Див. також

• Еквівалентність рядків
• Конгруентність матриці