Квазіізометрія

У математиці квазіізометрія — це функція між двома метричними просторами, яка враховує великомасштабну геометрію цих просторів і нехтує їх дрібні деталі. Два метричні простори є квазіізометричними, якщо між ними існує квазіізометрія. Властивість бути квазіізометричним поводиться як відношення еквівалентності в класі метричних просторів.

Концепція квазіізометрії особливо важлива в геометричній теорії груп, що відбито в працях Громова^[1].

Ця ґратка квазіізометрична площині.

Визначення

Припустимо, що ${\displaystyle f}$ є (не обов'язково неперервним) відображенням з одного метричного простору ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у другий метричний простір ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$. ${\displaystyle f}$ називають квазіізометрією з ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$, якщо існують сталі ${\displaystyle A\geq 1}$, ${\displaystyle B\geq 0}$, і ${\displaystyle C\geq 0}$ такі, що^[2]:

1. для кожних двох точок ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M_{1}}$:

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. кожна точка ${\displaystyle M_{2}}$ міститься в межах сталої відстані ${\displaystyle C}$ від точки образу. Формальніше:

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Два метричні простори ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ і ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ називають квазіізометричними, якщо існує квазіізометрія ${\displaystyle f}$ з ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

Відображення називають квазіізометричним вкладенням, якщо воно задовольняє першій умові, але не обов'язково другій (тобто воно є приблизно ліпшицевим, але може не бути приблизно сюр'єктивним). Іншими словами, якщо при відображенні ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ є квазіізометричним до підпростору ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

Два метричні простори ${\displaystyle M_{1}}$ і ${\displaystyle M_{2}}$ називають квазіізометричними, що позначається ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$, якщо існує квазіізометрія ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$.

Приклади

Відображення між евклідовою площиною та площиною з мангеттенською відстанню, яке відображає кожну точку в себе, є квазіізометрією: у ній відстані помножені на коефіцієнт щонайбільше ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Зверніть увагу, що тут не може бути ізометрії, оскільки, наприклад, манхеттенська відстань між точками ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$однакова, але на евклідовій площині не існує 4 точок, які б були на однаковій відстані одна від одної.

Відображення ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ (обидва з евклідовою метрикою), яке переводить кожен ${\displaystyle n}$-кортеж цілих чисел у самого себе є квазіізометрією: відстані зберігаються точно, і кожен дійсний кортеж лежить у межах ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ від цілочисельного кортежу. З іншого боку, розривна функція, яка округлює кожен кортеж дійсних чисел до найближчого цілого кортежу, також є квазіізометрією: кожна точка переводиться цим відображенням у точку в межах ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ від неї, тобто округлення змінює відстань між парами точок додавання або віднімання максимум ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$.

Кожна пара скінченних або обмежених метричних просторів є квазіізометричною. У цьому випадку кожне відображення з одного простору в інший є квазіізометрією.

Відношення еквівалентності

Якщо ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ є квазіізометрією, то існує квазіізометрія ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$. Дійсно, ${\displaystyle g(x)}$ можна визначити, взявши як ${\displaystyle y}$ будь-яку точку на образі ${\displaystyle f}$, розташовану в межах відстані ${\displaystyle C}$ від ${\displaystyle x}$, та як ${\displaystyle g(x)}$ будь-яку точку в ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.

Оскільки тотожне відображення є квазіізометрією, а композиція двох квазіізометрій є квазіізометрією, то властивість бути квазіізометричним поводиться в класі метричних просторів як відношення еквівалентності.

Використання в геометричній теорії груп

Сюди перенаправляється запит «Лема Шварца — Мілнора». На цю тему потрібна окрема стаття.

Якщо дано скінченну породжувальну множину S скінченнопородженої групи G, можна сформувати відповідний граф Келі S і G. Якщо оголосити довжину кожного ребра рівною 1, цей граф стає метричним простором. Взяття іншої скінченної породжувальної множини T приводить до іншого графа та іншого метричного простору, однак ці два простори є квазіізометричними. Отже, цей клас квазіізометрії є інваріантом групи G. Будь-яка властивість метричних просторів, яка залежить лише від класу квазіізометрії простору, негайно дає інший інваріант груп, відкриваючи галузь теорії груп для геометричних методів.

Загалом, лема Шварца — Мілнора стверджує, що якщо група G діє цілком розривно з компактним фактором на властивому геодезичному просторі X, то G є квазіізометричною відносно X (це означає, що будь-який граф Кейлі для G є квазіізометричним). Це дає нові приклади груп, квазіізометричних одна одній:

• Якщо G' — підгрупа скінченного індексу в G, то G' є квазіізометричною G;
• Якщо G і H — фундаментальні групи двох компактних гіперболічних многовидів однакової розмірності d, то обидві вони квазіізометричні гіперболічному простору H^d і, отже, одна одній; з іншого боку, існує нескінченна кількість класів квазіізометрії фундаментальних груп скінченного об'єму^[3].

Квазігеодезичні та лема Морса

Квазігеодезична в метричному просторі ${\displaystyle (X,d)}$ є квазіізометричним вкладенням ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle X}$. Точніше відображення ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \to X} таке, що існує ${\displaystyle C,K>0}$ так що

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

називають ${\displaystyle (C,K)}$-квазігеодезичною. Очевидно, геодезичні (параметризовані довжиною дуги) є квазігеодезичними. Той факт, що в деяких просторах зворотне приблизно істинне, тобто що кожна квазігеодезична залишається на обмеженій відстані від справжньої геодезичної, називають лемою Морса (не плутати з, можливо, відомішою лемою Морса в диференціальній топології). Формальніше:

Нехай ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ і ${\displaystyle X}$ властивий δ-гіперболічний простір^[en]. Існує ${\displaystyle M}$ таке, що для будь-якої ${\displaystyle (C,K)}$-квазігеодезичної ${\displaystyle \phi }$ існує в ${\displaystyle X}$ геодезична ${\displaystyle L}$ така, що ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ для усіх ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Це важливий засіб у геометричній теорії груп. Безпосереднім застосуванням є те, що будь-яка квазіізометрія між власне гіперболічними просторами індукує гомеоморфізм між їхніми межами. Цей результат є першим кроком у доведенні теореми про жорсткість Мостова.

Приклади квазіізометричних інваріантів груп

Нижче наведено кілька прикладів властивостей графів груп Келі, які є інваріантними відносно квазіізометрії^[2]:

Гіперболічність

Групу називають гіперболічною, якщо один із її графів Келі є δ-гіперболічним простором для деякого δ. При переході між різними визначеннями гіперболічності конкретне значення δ може змінюватися, але отримані поняття гіперболічної групи виявляються еквівалентними.

Гіперболічні групи мають розв'язну словесну задачу^[en]. Вони є біавтоматичними^[en] та автоматичними^[en][4]: справді, вони сильно геодезично автоматичні, тобто в групі існує автоматична структура, де мовою, прийнятою для акцептора слів, є набір усіх геодезичних слів.

Зростання

Ступінь зростання групи відносно симетричної породжувальної множини описує розмір куль у групі. Кожен елемент у групі можна записати як добуток твірних, а ступінь зростання підраховує кількість елементів, які можна записати як добуток довжини n.

За теоремою Громова, група поліноміального зростання є віртуально нільпотентною^[en], тобто має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Зокрема, порядок зростання полінома ${\displaystyle k_{0}}$ має бути натуральним числом і, фактично, ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$ .

Якщо ${\displaystyle \#(n)}$ зростає повільніше, ніж будь-яка експоненційна функція, G має субекспоненціальний ступінь зростання. Будь-яка така група аменабельна^[en].

Кінці

Кінці топологічного простору — це, грубо кажучи, сполучні компоненти «ідеальної межі» простору. Тобто кожен кінець представляє топологічно окремий спосіб переміщення до нескінченності в просторі. Додання точки на кожному кінці дає компактифікацію початкового простору, відому як кінцева компактифікація.

Кінці скінченнопородженої групи^[en] визначаються як кінці відповідного графа Келі; це визначення не залежить від вибору скінченної породжувальної множини. Кожна скінченнопороджена нескінченна група має 0, 1, 2 або нескінченно багато кінців, а теорема Столлінгса про кінці груп^[en] забезпечує розкладання для груп з більш ніж одним кінцем.

Якщо два зв'язні локально скінченні графи є квазіізометричними, то вони мають однакову кількість кінців^[5]. Зокрема, дві квазіізометричні скінченно породжені групи мають однакову кількість кінців.

Аменабельність

Аменабельна група — локально компактна топологічна група G з операцію усереднення на обмежених функціях, яка є інваріантною відносно трансляції елементів групи. Оригінальне визначення в термінах скінченно адитивної інваріантної міри (або середнього) на підмножинах G увів Джон фон Нейман 1929 року під німецькою назвою «messbar» (вимірний) у відповідь на парадокс Банаха — Тарського. 1949 року Маглон М. Дей запропонував англійський переклад «amenable», мабуть, як гру слів^[6].

У теорії дискретних груп, де G має дискретну топологію, використовується простіше визначення. У цьому випадку група є аменабельною, якщо можна сказати, яку частку G займає будь-яка дана підмножина.

Якщо група має послідовність Фьолнера^[en], вона автоматично є аменабельною.

Асимптотичний конус

Ультрамежа — це геометрична побудова, яка визначає для послідовності метричних просторів X_n граничний метричний простір. Важливим класом ультрамеж є так звані асимптотичні конуси метричних просторів. Нехай (X,d) — метричний простір, ω — неголовний ультрафільтр на ${\displaystyle \mathbb {N} }$ і нехай p_n ∈ X — послідовність базових точок. Тоді ω — ультрамежа послідовності ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ називають асимптотичним конусом X відносно ω і ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ і позначають ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. Часто приймають послідовність базових точок сталою, p_n = p для деякого p ∈ X; в цьому випадку асимптотичний конус не залежить від вибору p ∈ X і позначається ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ або просто ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$.

Поняття асимптотичного конуса відіграє важливу роль у геометричній теорії груп, оскільки асимптотичні конуси (або, точніше, їх топологічні типи та бі-ліпшицеві типи) забезпечують квазіізометричні інваріанти метричних просторів загалом і скінченно породжених груп зокрема^[7]. Асимптотичні конуси також виявляються корисним інструментом у вивченні відносно гіперболічних груп^[en] та їх узагальнень^[8].

Див. також

• Ізометрія