Космологічне рівняння стану

Космологічне рівняння стану (рівняння стану космологічної моделі) — залежність тиску від густини енергії певного середовища. У космології вважають, що тиск ${\displaystyle P}$ залежить лінійно від густини енергії ${\displaystyle \varepsilon }$: ${\displaystyle P=w\varepsilon \,.}$ Рівняння стану визначає, як з часом відбувається розширення Всесвіту та зміна густини енергії самого середовища. Для нерелятивістської речовини безрозмірний коефіцієнт пропорційності ${\displaystyle w_{m}=0\,,}$ для випромінювання та релятивістських частинок ${\displaystyle w_{r}=1/3\,.}$ Середовище з рівнянням стану, для якого ${\displaystyle w<-1/3}$ призводить до прискорення розширення Всесвіту і називається темною енергією. Найбільш загальноприйнятим варіантом темної енергії є космологічна стала ${\displaystyle w_{\Lambda }=-1\,.}$

Опис

Рівняння стану в загальному вигляді можуть мати складний вигляд, але оскільки космологія зазвичай має справу з розрідженими середовищами, то залежність тиску ${\displaystyle P}$ від густини енергії ${\displaystyle \varepsilon }$ представляють у лінійному вигляді: ${\displaystyle P=w\varepsilon }$, де ${\displaystyle w}$ ― безрозмірна величина^[1].

Рівняння стану різних середовищ у Всесвіті та їхні густини у теперішньому Всесвіті — параметри, від яких залежить розширення Всесвіту. Його можна задати наступними рівняннями^[1][2]:

Рівняння Фрідмана:

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\varepsilon -{\frac {\kappa c^{2}}{R^{2}a^{2}}}}$

Закон збереження:

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}+3{\frac {\dot {a}}{a}}(\varepsilon +P)=0}$

Рівняння прискорення:

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\varepsilon +3P)}$

Третє рівняння виводиться з перших двох, так що ця система містить лише два незалежні рівняння^[1]. У цих рівняннях ${\displaystyle a}$ — масштабний фактор — величина, що описує розширення або стиснення Всесвіту, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, ${\displaystyle \kappa }$ — кривина Всесвіту (приймає значення ${\displaystyle 0}$ для плоского простору, ${\displaystyle +1}$ для простору з позитивною кривиною та ${\displaystyle -1}$ з негативною), ${\displaystyle R}$ ― радіус кривини Всесвіту. Точка або дві точки над символом означає, відповідно, похідну за часом та другу похідну за часом^[3].

У цих рівняннях три невідомі функції від часу: ${\displaystyle a(t)}$, ${\displaystyle \varepsilon (t)}$, ${\displaystyle P(t)}$. Рівняння стану дає зв'язок між двома останніми невідомими, що дозволяє розв'язати систему рівнянь, і розв'язок суттєво залежить від типу рівняння стату. Для середовищ з різними коефіцієнтами ${\displaystyle w}$ густина енергії при розширенні Всесвіту змінюється по-різному: із закону збереження можна отримати співвідношення ${\displaystyle \varepsilon \propto a^{-3-3w}\,.}$ При цьому середовища з різними рівняннями стану можуть співіснувати одночасно: якщо між ними не відбувається обмін енергією, то при розширенні Всесвіту густина енергії кожного із середовищ змінюється незалежно від інших^[4]. Для Всесвіту з нульовою кривиною, що містить лише середовище з певним рівнянням стану, функція ${\displaystyle a(t)}$ також буде залежати від ${\displaystyle w}$^[5]:

${\displaystyle a(t)=\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)^{\frac {2}{3+3w}},}$

де ${\displaystyle t_{0}}$ — вік Всесвіту в даний момент. Для такого однокомпонентного Всесвіту вік можна виразити через ${\displaystyle w}$ та сталу Габбла ${\displaystyle H_{0}={\dot {a}}/a}$ у момент ${\displaystyle t_{0}}$^[6]:

${\displaystyle t_{0}={\frac {2}{3(1+w)}}H_{0}^{-1}\,.}$

У цьому випадку густина енергії змінюється з часом як ${\displaystyle \varepsilon (t)=(t/t_{0})^{-2}\,,}$ незалежно від ${\displaystyle w}$. Наведені формули справедливі для ${\displaystyle w\neq -1}$^[6].

Можна розглянути звичайну нерелятивістську речовину. Тиск у ньому незначущо малий порівняно із густиною енергії, так що ${\displaystyle w=0}$. Якщо весь Всесвіт складається із звичайної речовини, то при розширенні Всесвіту та зростанні ${\displaystyle a}$ густина енергії такої речовини зменшується, як випливає із закону збереження. Рівняння прискорення показує, що ${\displaystyle {\ddot {a}}/a<0\,,}$ тобто, розширення Всесвіту сповільнюється — це можна спрощено інтерпретувати як простий наслідок гравітаційної взаємодії, що уповільнює розліт частинок. Якщо ж уявити ${\textstyle w<-1/3}$, це означатиме, що за такої позитивної густини енергії Всесвіт розширюється прискорено ― це випадок темної енергії^[7][8].

Рівняння стану різних середовищ

Сценарії подальшого розвитку Всесвіту залежно від густини матерії ${\displaystyle \Omega _{m}}$ та космологічної сталої ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$. Різнокольорові зафарбовані області позначають обмеження на параметри, що задаються різними спостережними даними: реальна величина параметрів повинна перебувати на їхньому перетині або поблизу нього

Матерія

Як приклад можна розглянути розріджений газ, що складається з нерелятивістських частинок. Рівняння стану ідеального газу зазвичай записують у такому вигляді^[1]:

${\displaystyle P={\frac {\rho }{\mu }}kT,}$

де ${\displaystyle \rho }$ — густина, ${\displaystyle \mu }$ — молярна маса газу, ${\displaystyle k}$ — стала Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура. Щоб перейти до вираження тиску через густину енергії, потрібно врахувати, що у нерелятивістського газу енергія практично дорівнює енергії спокою, так що ${\displaystyle \varepsilon \approx \rho c^{2}\,.}$ Тоді можна записати^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {kT}{\mu c^{2}}}\varepsilon \,.}$

Оскільки газ нерелятивістський, то для середньоквадратичної швидкості його частинок ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ справедливе співвідношення ${\displaystyle 3kT=\mu \langle v^{2}\rangle }$, яке припускає ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle \ll c^{2}\,.}$ Рівняння стану можна привести до вигляду ${\displaystyle P=w_{m}\varepsilon \,,}$ де^[1]:

${\displaystyle w_{m}\approx {\frac {\langle v^{2}\rangle }{3c^{2}}}\ll 1\,.}$

Таким чином, для нерелятивістської речовини можна вважати ${\displaystyle w_{m}=0\,.}$ Середовище з таким рівнянням стану в космології прийнято називати холодною матерією або просто матерією, протиставляючи її випромінюванню. До неї відноситься не тільки нерелятивістська баріонна речовина, що зараз становить 4,8 % критичної густини Всесвіту, але й холодна темна матерія^[en][9] — прийнятий у стандартній моделі ΛCDM вид темної матерії, яка становить 26 % критичної густини і має невідому природу^{[2][10][11][12]}.

Для частково релятивістської речовини, у якої ${\displaystyle 0<\langle v^{2}\rangle <c^{2}\,,}$${\displaystyle w}$ перебуватиме в діапазоні від 0 до 1/3^[10].

Випромінювання

Рівняння стану для фотонів або релятивістського газу має вигляд^[1]:

${\displaystyle P\approx {\frac {1}{3}}\varepsilon \,.}$

Відповідно, ${\displaystyle w_{r}=1/3\,.}$ Середовище з таким рівнянням стану в космології прийнято називати гарячою матерією або випромінюванням. У сучасному Всесвіті густина випромінювання дуже мала: фотони, які в основному належать до реліктового випромінювання, становлять 5,4 × 10⁻⁵ критичної густини, а релятивістські нейтрино ― 3,6 × 10⁻⁵ критичної густини. Через таке рівняння стану густина випромінювання зменшується з розширенням Всесвіту як ${\displaystyle \varepsilon _{r}\propto a^{-4}\,,}$ що швидше, ніж зменшення густини матерії, ${\displaystyle \varepsilon _{m}\propto a^{-3}\,.}$ Густини матерії та випромінювання були однаковими, коли Всесвіту було 50 мільйонів років — зараз його вік становить 13,7 мільярдів років^[2][13].

Швидший спад густини енергії випромінювання при розширенні Всесвіту можна інтерпретувати в такий спосіб. Концентрація ${\displaystyle n}$ і для фотонів, і для нерелятивістських частинок змінюється з масштабним коефіцієнтом як ${\displaystyle n\propto a^{-3}\,.}$ Для нерелятивістських частинок, енергія яких практично повністю зумовлена енергією спокою, таку ж пропорційність має й густина енергії. Енергію фотона ${\displaystyle E}$ можна виразити через його довжину хвилі ${\displaystyle \lambda }$: ${\displaystyle E=hc/\lambda \,,}$ де ${\displaystyle h}$ — стала Планка. Оскільки довжина хвилі фотона збільшується разом із розширенням Всесвіту, ${\displaystyle \lambda \propto a}$, то для фотонів ${\displaystyle \varepsilon _{r}=nE=n(hc/\lambda )\propto a^{-3}a^{-1}=a^{-4}}$^[14].

Кривина простору

Кривину простору також можна представити у вигляді складової Всесвіту та використовувати густину кривини в рівняннях, що описують розширення Всесвіту. Для кривини ${\displaystyle w_{K}=-1/3}$ і ${\displaystyle \varepsilon _{K}\propto a^{-2}\,.}$ Густина кривини точно визначається через радіус кривини^[15]:

${\displaystyle \varepsilon _{K}=-{\frac {3}{8\pi Ga^{2}R^{2}}}\,.}$

Спостереження показують, що наш Всесвіт практично плоский, з радіусом кривини набагато більшим, ніж радіус горизонту, і густину кривини вважають нульовою^[15][16].

Темна енергія

Різні середовища з рівняннями стану, для яких ${\displaystyle w<-1/3}$ називають темною енергією. Особливість такого рівняння стану у тому, що з позитивної густини темної енергії рівняння прискорення дає ${\displaystyle {\ddot {a}}/a>0\,,}$ що означає прискорене розширення Всесвіту. Темна енергія має невідому природу, але оскільки прискорене розширення Всесвіту спостерігається насправді, темна енергія — необхідна складова Всесвіту^[1][17].

Найбільш загальноприйнятий варіант темної енергії — космологічна стала (лямбда-член) з ${\displaystyle w_{\Lambda }=-1\,.}$ При такому рівнянні стану густина темної енергії залишається сталою при розширенні Всесвіту, тому космологічну сталу також інтерпретують як енергію вакууму. Плоский Всесвіт, в якому домінує космологічна стала, буде розширюватися експоненційно: ${\displaystyle a(t)=e^{H_{0}(t-t_{0})}}$^[18].

У моделі ΛCDM використовують саме цей вид темної енергії, її густина становить близько 70 % критичної густини. У віці Всесвіту в 10,2 мільярда років густини матерії та космологічної сталої у Всесвіті були рівні. Космологічна стала — історично перший розглянутий вид темної енергії: Альберт Ейнштейн ввів його для побудови космологічної моделі стационарного Всесвіту^[en] в 1917^[19].

Проте не виключені й інші рівняння стану темної енергії. Наприклад, можливий варіант темної енергії з ${\displaystyle w<-1}$, званий фантомною енергією — при розширенні її густина енергії зростає. Якщо у Всесвіті, що розширюється, присутня фантомна енергія, то її густина рано чи пізно перевищить густина енергії будь-яких гравітаційно пов'язаних систем та інших тіл, що призведе до їх руйнування, а масштабний коефіцієнт досягне нескінченності за кінцевий час — це сценарій Великого розриву^[20].

Також не виключена й можливість того, що ${\displaystyle w}$ темної енергії змінюється з часом — подібний вид темної енергії називають квінтесенцією^[21].