Логнормальний розподіл

Логнорма́льний розпо́діл у теорії ймовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо випадкова величина має логнормальний розподіл, то її логарифм має нормальний розподіл.

Логнормальний
Деякі щільності лог-нормального розподілу з однаковими параметрами локалізації μ, але різними параметрами масштабу σ
Функція розподілу ймовірностей Функція розподілу лог-нормального розподілу (з μ = 0 )
Параметри	σ2 > 0 — форма (дійсне), μ ∈ R — логарифмічний-масштаб
Носій функції	x ∈ (0, +∞)
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\,e^{-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big ]}}$
Середнє	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Медіана	${\displaystyle e^{\mu }\,}$
Мода	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$
Дисперсія	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$
Ентропія	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$
Твірна функція моментів (mgf)	(визначена тільки на від'ємній півосі)
Характеристична функція	представлення ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$ є асимптотично розбіжне, але достатньо точне для числового використання
Інформація за Фішером	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$

Визначення

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задається щільністю ймовірності, що має вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{matrix}}\right.}$,

де ${\displaystyle \sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R} }$. Тоді кажуть, що ${\displaystyle X}$ має логнормальний розподіл з параметрами ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \sigma }$. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Моменти

Формула для ${\displaystyle k}$-го моменту логнормальної випадкової величини ${\displaystyle X}$ має вид:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,}$

відкіля зокрема :

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$.

Властивості логнормального розподілу

• Якщо ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — незалежні логнормальні випадкові величини, такі що ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma _{i}^{2})}$, то їхній добуток також логнормальний:

${\displaystyle Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Log} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${\displaystyle X\sim \mathrm {Log} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$, то

${\displaystyle Y=\ln X\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Моделювання логнормальних випадкових величин

Для моделювання звичайно використовується зв'язок з нормальним розподілом. Тому, достатньо згенерувати нормально розподілену випадкову величину, наприклад, використовуючи перетворення Бокса-Мюллера, і обчислити її експоненту.

Моделювання

Моделювання значень випадкової величини з логнормальним розподілом (з параметрами ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \sigma }$) проводиться за формулою ${\displaystyle X=e^{Y}}$, де ${\displaystyle Y}$ має нормальний розподіл з тими ж параметрами.

Застосування логнормального розподілу

У статистиці так званий логнормальний розподіл застосовується в тому випадку, коли починає змінюватися ціна активу в майбутньому, а це — випадковий процес, що в принципі повинний описуватися нормальним розподілом. Водночас для цілей імовірнісної оцінки вартості активу в теорії використовують не нормальний, а логнормальний розподіл. Це обумовлено наступним:

• По-перше, нормальний розподіл симетричний щодо її центральної осі і може мати як додатні, так і від'ємні значення; однак ціна активу не може бути від'ємною.
• По-друге, нормальний розподіл говорить про рівну імовірність для відхилення значень змінної чи нагору вниз. У той же час на практиці, наприклад, має місце інфляція, що натискає на ціни убік їхнього підвищення, а також сама тимчасова сутність грошей: вартість грошей сьогодні менше, ніж вартість грошей учора, але більше, ніж вартість грошей завтра.

Крива логнормального розподілу завжди додатня і має правобічну скошеність (асиметрично), тобто вона вказує на велику імовірність відхилення ціни вгору. Тому якщо, допустимо, ціна активу становить 50 дол., то крива логнормального розподілу свідчить про те, що пут-опціон з ціною виконання 45 дол. повинний коштувати менше колл-опціону із ціною виконання 55 дол., у той час як відповідно до нормального розподілу вони повинні були б мати однакову ціну. Хоча не можна сподіватися, що приведені вихідні припущення в точності виконуються у всіх реальних ринкових ситуаціях, проте прийнято вважати, що логнормальний розподіл є достатньо добрим як перше наближення у випадку активів, якими торгують на конкурентних ринках аукціонного типу для довгих розглянутих періодів.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)