Матриця одиниць

Не плутати з одиничною матрицею.

У математиці, матриця одиниць — це матриця, кожен елемент якої дорівнює одиниці^[1]. Приклади:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Властивості

Для квадратної n×n-матриці одиниць J істинними є такі твердження:

• Слід матриці J дорівнює n^[2], а визначник дорівнює 1 при n = 1, і 0 у всіх інших випадках.
• Ранг матриці J дорівнює 1.^[3]
• У матриці J тільки два власні значення: n (некратне) і 0 (кратності n-1).
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ для ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^[4]
• Матриця ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ є ідемпотентною.
• Експонента матриці одиниць подається у вигляді: ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$
• J є одиничним елементом відносно добутку Адамара.^[5]

Див. також

• Бінарна матриця
• Нульова матриця
• Одинична матриця