Експонента матриці

Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.

Визначення

Для дійсної або комплексної матриці ${\displaystyle X}$ розміру ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (X\in M(n,\mathbb {C} ))}$ експонента від ${\displaystyle X}$, що позначається як ${\displaystyle e^{X}}$ або ${\displaystyle \exp(X)}$ — матриця розміру ${\displaystyle n\times n}$, визначена за допомогою ряду:

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}}$,

де ${\displaystyle X^{k}}$ — k-а степінь матриці ${\displaystyle X}$.

Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо ${\displaystyle \|X\|=\alpha }$, де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{k!}}X^{k}\right\|\leqslant {\frac {1}{k!}}\|X\|^{k}\leqslant {\frac {1}{k!}}\alpha ^{k}}$.

Звідси ${\displaystyle {\big \|}\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}{\big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}\|X^{k}\|\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\alpha ^{k}=e^{\alpha }}$, що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.

Якщо ${\displaystyle X}$ — матриця розміру ${\displaystyle 1\times 1}$, то матрична експонента від ${\displaystyle X}$ є матриця розмірності ${\displaystyle 1\times 1}$ , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента ${\displaystyle X}$.

Еквівалентне визначення

Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.

${\displaystyle \exp X=\lim _{n\to \infty }\left(I+{\frac {1}{n}}X\right)^{n},}$ де ${\displaystyle I}$ — одинична матриця відповідної розмірності.

Ця рівність є аналогічною до рівності ${\displaystyle e^{a}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {a}{n}}\right)^{n},}$ що виконується для дійсних і комплексних чисел.

Для доведення рівності використовується формула ${\displaystyle \left(1+{\frac {a}{m}}\right)^{m}=\sum _{k=0}^{m}{\frac {a^{k}}{k!(m-k)!}},}$ де a може бути як числом, так і матрицею.

Тоді якщо для тої ж норми, що й вище ${\displaystyle \|X\|=a,}$ то:

${\displaystyle \left\|e^{X}-\left(I+{\frac {1}{n}}X\right)^{n}\right\|\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\frac {a^{k}}{k!}}-{\frac {a^{k}}{k!(n-k)!}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a^{k}}{k!}}=e^{a}-\left(1+{\frac {a}{n}}\right)^{n}\to 0,}$ при ${\displaystyle n\to \infty ,}$ що й доводить твердження.

Властивості

Основні властивості

Для комплексних матриць ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ розміру ${\displaystyle n\times n}$, довільних комплексних чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, одиничної матриці ${\displaystyle I}$ і нульової матриці ${\displaystyle 0}$, експонента має наступні властивості:

• ${\displaystyle \exp 0=I}$;
• Матриці ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \exp X}$ комутують, тобто ${\displaystyle X\exp(X)=\exp(X)X.}$ Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle \exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)}$;
• ${\displaystyle \exp X\exp \left(-X\right)=I}$;
• Якщо ${\displaystyle XY=YX}$, то ${\displaystyle \exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)}$;
• Якщо ${\displaystyle Y}$ — невироджена матриця, то ${\displaystyle \exp(YXY^{-1})=Y\exp(X)Y^{-1}}$.
• ${\displaystyle \exp X^{\mathrm {T} }=(\exp X)^{\mathrm {T} }}$, де ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$ позначає транспоновану матрицю до ${\displaystyle X}$, це означає, що якщо ${\displaystyle X}$ є симетричною, то ${\displaystyle \exp X}$ теж симетрична, а якщо ${\displaystyle X}$ — кососиметрична матриця, то ${\displaystyle \exp X}$ — ортогональна;
• ${\displaystyle \exp(X^{*})=(\exp X)^{*}}$, де ${\displaystyle X^{*}}$ позначає ермітово-спряжену матрицю для ${\displaystyle X}$, це означає, що якщо ${\displaystyle X}$ — ермітова матриця, то ${\displaystyle \exp X}$ теж ермітова, а якщо ${\displaystyle X}$ — антиермітова матриця, то ${\displaystyle \exp X}$ — унітарна.
• ${\displaystyle \det \left(\exp X\right)={\exp({\mbox{tr}}(X)}),}$ де ${\displaystyle \det }$ — визначник, а ${\displaystyle {\mbox{tr}}}$ — слід матриці.

Експонента суми

Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ експоненціальна функція задовольняє рівнянню ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}$, це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ комутують (тобто ${\displaystyle XY=YX}$), то ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$. Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення ${\displaystyle \exp(X+Y)}$ використовується формула Бейкера — Кемпбелла — Хаусдорфа^[en].

У загальному випадку з рівності ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$ не випливає, що ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ комутують.

Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.

Нерівність Голдена - Томпсона

Якщо ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle H}$ — ермітові матриці, то ^[1]:

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(H))}$,

де ${\displaystyle \operatorname {tr} X}$ — слід матриці ${\displaystyle X}$. Комутативність для виконання цього твердження не потрібна. Існують контрприклади, які показують, що нерівність Голдена — Томпсона не може бути узагальнена на три матриці, а ${\displaystyle \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(B)\exp(C))}$ не завжди є дійсним числом для ермітових матриць ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$.

Теорема Ліба

Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба, стверджує, що для фіксованої ермітової матриці ${\displaystyle H}$, функція:

${\displaystyle f(A)=\operatorname {tr} \,\exp \left(H+\log A\right)}$

є увігнутою на конусі додатноозначених матриць ^[2].

Експоненціальне відображення

Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до ${\displaystyle \exp X}$ матриця рівна ${\displaystyle \exp(-X)}$, це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

з простору всіх матриць розмірності ${\displaystyle n\times n}$ на загальну лінійну групу порядку ${\displaystyle n}$, тобто групу всіх невироджених матриць розмірності ${\displaystyle n\times n}$. Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці.

Твердження про сюр'єктивність є неправильним, якщо замість поля комплексних комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, розглядати поле дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. У цьому випадку відображення ${\textstyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ не є сюр'єктивним. Зокрема оскільки ${\textstyle \det \left(\exp X\right)={\exp({\mbox{tr}}(X)}),}$ то кожен елемент образу відображення має додатний визначник. Загалом дійсна матриця із додатним визначником є експонентою іншої дійсної матриці тоді і тільки тоді, коли кожен жордановий блок у її жордановій нормальній формі, що відповідає від'ємному власному значенню зустрічається у відповідній жордановій нормальній формі парну кількість разів.

Натомість елементи виду ${\displaystyle \exp X,\ X\in M_{n}(\mathbb {R} )}$ породжують підгрупу матриць із додатним визначником, оскільки ця підгрупа є зв'язною і містить одиничну матрицю.

Наприклад матриця ${\textstyle A={\begin{bmatrix}-1&1\\0&-1\end{bmatrix}}}$ не є експонентою дійсної матриці. Оскільки ${\textstyle A}$ не є діагональною і є жордановим блоком вона не є діагоналізовною навіть у полі комплексних чисел. Але якщо ${\textstyle A=\exp X}$, то власні значення матриці ${\displaystyle X}$ мають бути логарифмами від -1, тобто уявними числами. Також їх сума має бути рівною логарифму від 1 і рівною сліду матриці ${\displaystyle X}$. Оскільки ${\displaystyle X}$ є дійсною матрицею, то цей слід може бути рівним лише 0. Таким чином власті значення ${\displaystyle X}$ є різними і ця матриця має бути діагоналізовною у полі комплексних чисел, як і її експонента. Це суперечить недіагоналізовності ${\textstyle A}$. Матриця ${\textstyle A}$ має єдиний жордановий блок, що відповідає від'ємному числу -1.

Натомість над полем комплексних чисел:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&1\\0&-1\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}\pi i&-1\\0&\pi i\end{bmatrix}}.}$

Також, як матриця ыз додатним визначником ${\textstyle A}$ є добутком скінченної кількості експонент дійсних матриць. Наприклад:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&1\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}},}$

і також:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&\pi \\-\pi &0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Для будь-яких двох матриць ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ має місце нерівність

${\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}}$,

де ${\displaystyle \|\cdot \|}$ позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$.

Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині ${\displaystyle X\in B(0,\ln 2)\subset M(n,\mathbb {C} ),}$де ${\displaystyle B(0,\ln 2)}$— множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:

${\displaystyle \log(Y)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k}(Y-I)^{k}.}$

Диференціювання

Відображення:

${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$

визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при ${\displaystyle t=0}$.

Похідна цього відображення визначається формулою:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{tX}=Xe^{tX}.}$

Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{tX}=\lim _{t_{0}\to 0}{\frac {e^{(t+t_{0})X}-e^{tX}}{t_{0}}}=\lim _{t_{0}\to 0}{\frac {e^{t_{0}X}-I}{t_{0}}}e^{tX}=\lim _{t_{0}\to 0}(X+O(t_{0}))e^{tX}=Xe^{tX}.}$

Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність^[3]:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{X(t)}=e^{X}{\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}{\frac {{\rm {d}}X}{{\rm {d}}t}},}$

де ${\displaystyle {\rm {ad}}(X)\;:\;M(n,\mathbb {C} )\to M(n,\mathbb {C} )}$— лінійне відображення визначене ${\displaystyle {\rm {ad}}(X)(Y)=[X,Y]=XY-YX,}$для довільної матриці ${\displaystyle Y\in M(n,\mathbb {C} ).}$

У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:

${\displaystyle {\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over (k+1)!}({\rm {ad}}(X))^{k}.}$

Взявши в формулі для диференціювання ${\displaystyle X(t)=X+tY,}$ отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці ${\displaystyle X\in M(n,\mathbb {C} ):}$

${\displaystyle ({\rm {d}}_{X}\exp )Y=\exp {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}e^{X+tY}=e^{X}{\frac {1-e^{-{\rm {ad}}(X)}}{{\rm {ad}}(X)}}Y,\;\forall \;Y\in M(n,\mathbb {C} )\simeq T_{X}M(n,\mathbb {C} ).}$

При ${\displaystyle XY=YX}$ ця рівність спрощується до ${\displaystyle ({\rm {d}}_{X}\exp )Y=e^{X}Y.}$

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь ^[4]. Розв'язок системи:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}}$,

де ${\displaystyle A}$ — стала матриця, дається виразом:

${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}$

Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}}$.

Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}$,

де ${\displaystyle A}$ — матриця елементи якої не є константами, але Розклад Магнуса^[en] дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.

Приклад однорідної системи

Для системи:

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix}}}$

матриця рівна:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$

Можна показати, що експонента від матриці ${\displaystyle tA}$ є

${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)&-2te^{2t}&e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)&2te^{2t}&e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~,}$

таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~.}$

Приклад неоднорідної системи

Для розв'язку неоднорідної системи:

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}}$

вводяться позначення:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$

і

${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Так як сума загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку дають загальний розв'язок неоднорідного рівняння, залишається лише знайти частковий розв'язок. Так як:

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{U}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{T}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,}$

де ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {y} _{p}(0)}$ — початкова умова.

Узагальнення: варіація довільної сталої

У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді: ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}(t)=\exp(tA)\mathbf {z} (t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$

Щоб ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}}$ була розв'язком, має виконуватися наступне:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$

Таким чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&{}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&{}=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \end{aligned}}~,}$

де ${\displaystyle \mathbf {c} }$ визначається з початкових умов задачі.

Див. також

• Експонента (теорія груп Лі)