Розподіл Ерланга

Розподіл Ерланга — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів, визначених для ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$. Параметрами розподілу є:

• ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — параметр форми,
• ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ — коефіцієнт норми. Іноді використовується обернений параметр ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\lambda }}}$ — коефіцієнт масштабу.

Розподіл Ерланга
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$ — параметр форми ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ — коефіцієнт норми або обернений коефіцієнт масштабу
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n},}$ де ${\displaystyle \gamma }$ — неповна гамма-функція
Середнє	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Медіана	немає аналітичної форми
Мода	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Ентропія	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$ for ${\displaystyle t<\lambda }$
Характеристична функція	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

Розподіл Ерланга — це розподіл суми ${\displaystyle k}$ незалежних однаково експоненційно розподілених випадкових величин з параметром ${\displaystyle 1/\lambda }$. Еквівалентним твердженням є те, що це розподіл часу до ${\displaystyle k}$-тої події пуассонівського процесу з параметром ${\displaystyle \lambda }$. Розподіли Ерланга та Пуассона є взаємнодоповнюючими: розподіл Пуассона підраховує кількість подій, що відбудуться за фіксований проміжок часу, а розподіл Ерланга підраховує кількість часу до появи фіксованої кількості подій. При ${\displaystyle k=1}$, розподіл Ерланга збігається з експоненційним розподілом. Розподіл Ерланга — окремий випадок гамма-розподілу з натуральними значеннями параметру форми ${\displaystyle k}$.

Випадкова величина ${\displaystyle \xi }$, що має розподіл Ерланга позначається наступним чином: ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$.

Названий на честь данського математика та інженера А. К. Ерланга^[en], який використовував розподіл для вивчення кількості телефонних дзвінків, які можуть бути здійснені одночасно до операторів телефонної станції. Ця робота з теорії телетрафіку^[en] була розширена для оцінки часу очікування в теорії черг загалом. Також розподіл використовується в площині випадкових процесів.

Опис

Щільність розподілу

Випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ має розподіл Ерланга з параметром норми ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ порядку ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, якщо її щільність має вигляд:

${\displaystyle f_{\xi }(x)={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).}$

Альтернативна (але еквівалентна) параметризація використовує коефіцієнт масштабу ${\displaystyle \beta }$, який є оберненим до параметру норми (тобто ${\displaystyle \beta =1/\lambda }$), в такому випадку щільність розподілу має вигляд:

${\displaystyle f_{\xi }(x)={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).}$

При ${\displaystyle \beta =2}$, розподіл Ерланга збігається з хі-квадрат розподілом з ${\displaystyle 2k}$ ступенями свободи. Тому його можна розглядати як узагальнений розподіл хі-квадрат^[en] для парної кількості ступенів свободи.

Функція розподілу ймовірностей

Розподіл Ерланга має таку функцію розподілу ймовірностей:

${\displaystyle F(x)=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — нижня неповна гамма-функція, а ${\displaystyle P}$ — нижня регуляризована гамма-функція.

Функція розподілу також може бути записана в такій формі:

${\displaystyle F(x)=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

Медіана

Відомий асимптотичний розклад для медіани розподілу Ерланга^[1] з визначеними межами та обчислюваними параметрами.^[2][3] Наближене значення такого розкладу буде дорівнювати ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$ тобто менше за математичне сподівання ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$^[4]

Генерація випадкових величин з розподілом Ерланга

Випадкова величина з розподілом Ерланга ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$ може бути згенерована з ${\displaystyle k}$ рівномірно розподілених випадкових величин ${\displaystyle \eta _{i}\sim U[0,1],i={\overline {1,k}}}$ за наступною формулою:^[5]

${\displaystyle \xi =-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}\eta _{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln \eta _{i}}$

Застосування

Час очікування

Незалежні випадкові події, які відбуваються з деякою середньою швидкістю моделюються за допомогою пуассонівського процесу. Час очікування між ${\displaystyle k}$ такими подіями має розподіл Ерланга (тоді як кількість подій, що відбулися за певний проміжок часу, розподілена за Пуассоном).

Розподіл Ерланга, який вимірює час між вхідними дзвінками, може бути використаний разом з очікуваною тривалістю вхідних дзвінків для отримання інформації про навантаження трафіку, що вимірюється в ерлангах^[en]. Це може бути використано для визначення ймовірності втрати або затримки пакетів, згідно з припущеннями щодо того чи заблоковані виклики перериваються (формула Erlang B) чи стовляться у чергу до обслуговування (формула Erlang C). Формули Erlang B^[en] та C^[en] досі використовуються для моделювання трафіку, наприклад при розробці дизайну кол-центрів.

Інші застосування

Віковий розподіл захворюваності на рак часто відповідає розподілу Ерланга, де параметри форми та масштабу передбачають кількість рушійних подій та часовий інтервал між ними, відповідно.^[6][7] У ширшому сенсі, розподіл Ерланга був запропонований як хороше наближення розподілу часу клітинного циклу, в результаті багатоступеневих моделей.^[8][9]

Він також використовувався в бізнес-економіці для опису часу між закупівлями.^[10]

Властивості

• Якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$, то ${\displaystyle a\cdot \xi \sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$ для ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$, ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$ і ${\displaystyle \xi ,\eta }$ — незалежні, то ${\displaystyle \xi +\eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$

Зв'язок із іншими розподілами

• Розподіл Ерланга — це розподіл суми ${\displaystyle k}$ незалежних однаково розподілених випадкових величин з експоненційним розподілом. Довгострокова частота виникнення подій є оберненою до математичного сподівання ${\displaystyle \xi }$ величиною, тобто ${\displaystyle \lambda /k.}$ Інтенсивність (вікова інтенсивність відмов) розподілу Ерланга для ${\displaystyle k>1}$ монотонна в ${\displaystyle x,}$ зростає від 0 при ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle \lambda }$ при ${\displaystyle x\to \infty }$.^[11]
  • Тобто, якщо ${\displaystyle \xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),i={\overline {1,k}},}$ то ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\xi _{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Через наявність факторіала в знаменнику щільності розподілу та функції розподілу, розподіл Ерланга може бути визначеним лише при ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Тому цей розподіл іноді називають розподілом Ерланга-k (англ. Erlang-k distribution) або розподілом Ерланга k-го порядку (наприклад, розподіл Ерланга-2 (2-го порядку) — це розподіл Ерланга з параметром ${\displaystyle k=2}$). Гамма-розподіл узагальнює розподіл Ерланга, дозволяючи набувати параметру ${\displaystyle k}$ будь-якого додатнього значення, оскільки використовує гамма-функцію замість факторіала.
  • Тобто якщо ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$ то ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Відношення експоненційного розподілу та розподілу Ерланга ${\displaystyle n}$-го порядку з однаковими коефіцієнтами норми ${\displaystyle \lambda }$ зміщене на 1 має розподіл Парето:
  • Тобто якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ та ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$, то ${\displaystyle {\frac {\xi }{\eta }}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• Розподіл Ерланга пов'язаний з розподілом Пуассона через Пуассонівський процес: якщо ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i},}$ де ${\displaystyle \xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),}$

то $${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$ і $${\displaystyle \operatorname {P} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{S_{n}}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$ В результаті маємо функцію розподілу Пуассона ${\displaystyle F_{\eta }(n-1)}$ для ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Pois} (\lambda x)}$.

Див. також

• Гамма-розподіл
• Розподіл Пуассона
• Експоненційний розподіл