Грань (геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Грань.

Грань (у стереометрії) — плоска поверхня, яка є частиною межі геометричного тіла; плоскі багатокутники, які обмежують многогранник, називаються його гранями.

Також гранями називаються дві півплощини, які утворюють двогранний кут.

Багатокутні грані

Отже, в елементарній геометрії основне визначення: грані — плоскі (двовимірні) багатокутники, які обмежують многогранник. Іншою назвою для багатокутної грані є сторона багатокутника. В багатьох слов'янських мовах грань — стінка (стіна): пол. ściana, болг. стена, чеськ. stěna, словац. stena. Близьким поняттям до грані є плитка — елемент теселяції на евклідовій площині.

Приклади правильних граней і плиток

Куб має 3 квадратні грані при вершині.	Малий зірчастий додекаедр) має 5 пентаграмних[K 1] граней при вершині. Можна розглядати також трикутні грані.	Квадратне замощування в евклідовій площині має 4 грані (плитки) при вершині.	Замощування п'ятірками квадратів[en] гіперболічної площини має 5 квадратних граней (плиток) при вершині.	Тесеракт має 3 квадратні грані при ребрі.

Кількість багатокутних граней многогранника

Поверхня будь-якого опуклого многогранника має ейлерову характеристику

${\displaystyle V-E+F=2,}$

де V — кількість вершин, E — кількість ребер, F — кількість граней. Це рівняння відоме як формула многогранника Ейлера. Отже, кількість граней на 2 більша, ніж різниця кількості ребер та кількості вершин. Наприклад, у куба 12 ребер та 8 вершин, а отже, 6 граней.

k-вимірна грань

У багатовимірній геометрії грані політопа є елементами всіх вимірів.^[1][2] Грань розмірності k називають k-вимірною гранню. Наприклад, багатокутні грані звичайного многогранника є двовимірними гранями. В теорії множин набір граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину, де остання, для узгодженості, має «розмірність» -1. Для будь-якого політопа (n-вимірного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.

Наприклад, у цьому значенні грані куба включають сам куб (3-вимірна грань), його грані (квадратні, 2-вимірні), ребра (лінійні, 1-вимірні грані), вершини (точкові, 0-вимірні грані) і порожню множину. Нижче перелічено грані 4-політопа:

• 4-вимірна грань — сам 4-політоп;
• 3-вимірні грані — 3-вимірні комірки (многогранники);
• 2-вимірні грані — 2-вимірні ребра (многокутники);
• 1-вимірні грані — 1-вимірні ребра;
• 0-вимірні грані — 0-вимірні вершини;
• порожня множина, що має розмірність −1.

У деяких галузях математики, таких як комбінаторика многогранників, многогранник за визначенням опуклий. Формально грань многогранника P є перетин P з будь-яким замкнутим півпростором, межа якого не перетинається зі внутрішньою частиною P.^[3] З цього визначення випливає, що множина граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину.^[4][5]

В інших галузях математики, таких як теорії абстрактних многогранників та зірчастих многогранників, вимогу опуклості ослаблено. Абстрактна теорія, як і раніше, вимагає, щоб множина граней включала сам політоп і порожню множину.

Комірка або 3-грань

Комірка — багатогранний елемент (тривимірна грань або 3-грань) 4-вимірного многогранника або 3-вимірної мозаїки або фігури вищої розмірності. Комірки є гранями для 4-політопів і тривимірних мозаїк.

Стандартні приклади за символом Шлефлі

чотиривимірні політопи		3-вимірні мозаїки
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
Тесеракт має 3 кубічні комірки на ребро.	120-комірник має 3 додекаедричні комірки на ребро.	Кубічний стільник заповнює евклідів 3-вимірний простір кубами з 4 комірками на кожному ребрі.	Додекаедричний стільник порядку 4 заповнює тривимірний гіперболічний простір додекаедрами, по 4 комірки на ребро.

Фасета або (n−1)-вимірна грань

Докладніше: Фасета (геометрія)

У багатовимірній геометрії фасетами (або гіпергранями)^[6] n-вимірного політопа є (n−1)-грані (грані розмірності на одиницю меншої, ніж сам політоп).^[7] Політоп обмежений своїми гранями.

Наприклад:

• фасетами відрізка є його 0-вимірні грані — вершини;
• фасетами многокутника є його 1-вимірні грані або ребра;
• фасетами многогранника або паркету є їхні 2-вимірні грані;
• гранами чотиривимірного многогранника або тривимірного стільника є їхні 3-вимірні грані або комірки.
• гранями п'ятивимірного многогранника^[en] або 4-вимірної мозаїки є їхні 4-вимірні грані.