Двадцятичотирьохкомірник

Правильний двадцятичотирьохкомірник, або просто двадцятичотирьохкомірник, або ікосітетрахор (від дав.-гр. εἴκοσι — «двадцять», τέτταρες — «чотири» і χώρος — «місце, простір») — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі.

Двадцятичотирьохкомірник
Діаграма Шлегеля (вершини та ребра)
Тип	опуклий правильний 4-політоп[en]
Граней	96 {3}
Ребер	96
Вершин	24
Комірок	24 {3,4}
Символ Шлефлі	{3,4,3} r{3,3,4} = ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}}$ {31,1,1} = ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$
Діаграма Коксетера	або або
Площа поверхні	${\displaystyle S_{3}=8{\sqrt {2}}a^{3}}$
Об'єм	${\displaystyle V_{4}=2a^{4}}$
Дуальний многогранник	самодвоїстий
опуклий, ізогональний, ізотоксальний, ізоедральний
Розгортка

Проєкція обертового двадцятичотирьохкомірника в тривимірний простір

Ортогональна проєкція обертового двадцятичотирьохкомірника на площину

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років^[1]. Символ Шлефлі двадцятичотирьохкомірника — {3,4,3}.

Двоїстий сам собі; двадцятичотирьохкомірник — єдиний самодвоїстий правильний політоп розмірності більше 2, що не є симплексом. Цим обумовлена унікальність двадцятичотирьохкомірника: на відміну від п'яти інших правильних двадцятичотирьохкомірників, він не має аналога серед платонових тіл.

Опис

Обмежений 24 тривимірними комірками — однаковими октаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

96 двовимірних граней — рівні правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 96 ребер рівної довжини, розташованих так само, як ребра трьох тесерактів зі спільним центром. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 24 вершини, розташовані так само, як вершини трьох шістнадцятикомірників зі спільним центром. У кожній вершині сходяться по 8 ребер, по 12 граней та по 6 комірок.

Двадцятичотирьохкомірник можна розглядати як повністю зрізаний^[en] шістнадцятикомірник.

Двадцятичотирьохкомірник можна зібрати з двох рівних тесерактів, розрізавши один з них на 8 однакових кубічних пірамід, основи яких — 8 комірок тесеракта, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 8 кубічних комірок іншого тесеракта. У тривимірному просторі аналогічно можна з двох рівних кубів зібрати ромбододекаедр — який, однак, не є правильним.

У координатах

Перший спосіб розташування

Двадцятичотирьохкомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб 8 з його вершин мали координати ${\displaystyle (\pm 2;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 2;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;\pm 2;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;\pm 2)}$ (ці вершини розташовані так само, як вершини шістнадцятикомірника), а решта 16 вершин — координати ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)}$ (вони розташовані так само, як вершини тесеракта; крім того, ті 8 з них, серед координат яких непарна кількість від'ємних, утворюють вершини іншого шістнадцятикомірника, а інші 8 — вершини третього шістнадцятикомірника).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких усі чотири координати різняться на ${\displaystyle 1}$ або одна з координат відрізняється на ${\displaystyle 2,}$ а решта збігаються.

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ буде центром симетрії двадцятичотирьохкомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних тривимірних гіперсфер .

Другий спосіб розташування

Крім того, двадцятичотирьохкомірник можна розмістити так, щоб координати всіх його 24 вершин були всілякими перестановками чисел ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;0;0)}$ (Ці точки — центри 24 комірок багатокомірника, описаного в попередньому розділі).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких якісь дві координати різняться на ${\displaystyle 1,}$ а інші дві збігаються.

Центром багатоосередника знову буде початок координат.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини ${\displaystyle a,}$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні становлять відповідно

${\displaystyle V_{4}=2a^{4}=2{,}0000000a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=8{\sqrt {2}}a^{3}\approx 11{,}3137085a^{3}.}$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

${\displaystyle R=a=1{,}0000000a,}$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a,}$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a,}$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) -

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.}$

Заповнення простору

Двадцятичотирьохкомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.

Див. також

• Кирпатий двадцятичотирьохкомірник