Субмерсія

У математиці, субмерсією називають гладке відображення між диференційовними многовидами диференціал якого є сюрєктивним в кожній точці. Поняття субмерсії є дуже важливим у диференціальній геометрії і топології.

Визначення

Нехай M і N диференційовні многовиди і f : M → N гладке відображення між ними. Відображення f є субмерсією в точці p ∈ M якщо його диференціал

${\displaystyle Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

є сюрєктивним лінійним відображенням. В цьому випадку p називається регулярною точкою відображення f, в іншому випадку p є особливою точкою. Гладке відображення f яке є субмерсією в кожній точці p ∈ M називається субмерсією. Еквівалентно, f є субмерсією, якщо його диференціал Df_p має сталий ранг рівний розмірності N.

Приклади

• Проєкція ${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}
• Локальний дифеоморфізм
• Ріманова субмерсія
• Проєкція в гладкому векторному розшаруванні. Сюрєктивність диференціала є необхідною умовою локальної тривіалізації.

Властивості

• Якщо f: M → N є субмерсією в точці p і f(p) = q ∈ N тоді існує окіл U точки p в M і окіл V точки q в N, локальні координати (x₁,…,x_m) біля p і (x₁,…,x_n) біля q такі що f(U) = V і відображення f в цих локальних координатах є стандартною проєкцією:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

• Прообраз f⁻¹(q) в M регулярної точки q ∈ N щодо гладкого відображення f: M → N є або порожньою множиною або диференційовним многовидом розмірності (dim M − dim N), можливо незв'язним. Це твердження називається теоремою про субмерсію). Зокрема твердження справедливе для всіх q ∈ N якщо f є субмерсією.

• Субмерсія є відкритим відображенням, тобто образ відкритої множини є відкритою множиною.
• Кожна точка p ∈ M належить образу деякого гладкого локального перетину для субмерсії f.
• Нехай M, N і P — диференційовні многовиди. Якщо f: M → N є субмерсією, а g: N → P — довільне відображення, то g є гладким тоді й лише тоді коли g∘ f є гладким відображенням.
• Нехай f: M → N — сюр'єктивна субмерсія, а g: M → P — гладке відображення, таке що ${\displaystyle \forall x\in N\,g(f^{-1}(x))=const.}$ Тоді існує єдина гладка функція ${\displaystyle {\bar {g}},}$ така що ${\displaystyle {\bar {g}}\circ f=g.}$

• Нехай f₁: M → N₁, f₂: M → N₂ — сюр'єктивні субмерсії, такі, що ${\displaystyle \forall x\in N_{1}\,f_{2}(f_{1}^{-1}(x))=const\;}$ і ${\displaystyle \forall x\in N_{2}\,f_{1}(f_{2}^{-1}(x))=const.}$ Тоді існує єдиний дифеоморфізм g: N₁ → N₂ такий що g∘ f₁ = f₂.

Субмерсія топологічних многовидів

Субмерсії також можна визначити для топологічних многовидів.^[1] Субмерсією в цьому випадку називається неперервна сюрєкція f : M → N така що для всіх p ∈ M, для деяких неперервних карт ψ навколо точки p і φ навколо f(p), відображення ψ⁻¹ ∘ f ∘ φ є проєкцією з R^m в Rⁿ, де m=dim(M) ≥ n=dim(N).

Див. також

• Занурення (топологія)
• Вкладення