Тензорні мережі

Тензорні мережі або тензоромережеві стани — це клас варіаційних хвильових функцій, які використовуються у вивченні квантових систем багатьох тіл. ^[1] Тензорні мережі узагальнюють стани одновимірного матричного добутку на вищі розмірностей, зберігаючи при цьому деякі їхні корисні математичні властивості. ^[2]

Графічне (діаграматичне) зображення тензорних мереж, що можуть згорнутися до одного тензору сьомого порядку (бачимо схожу структуру та 7 вільних індексів). Тут мається на увазі, що нижня мережа може бути отримана з першої шляхом тензорної згортки (або підсумовування) трьох (жовтих) тензорів порядку три в один (фіолетовий).

Хвильова функція кодується тензорною згорткою мережі окремих тензорів . ^[3] Структура окремих тензорів може закладати глобальну симетрію до хвильової функції або обмежувати хвильову функцію конкретними квантовими числами, такими як загальний заряд, момент імпульсу чи спін . Використовуючи математичну структуру тензорної мережі, також можна вивести строгі обмеження для таких величин, як заплутаність і довжина кореляції . ^[4] Це робить тензорні мережі корисними в теоретичних дослідженнях квантової інформації в системах багатьох тіл^[en]. Вони також виявилися корисними у варіаційних дослідженнях основних станів квантовомеханічних систем, збуджених станів і динаміки сильно корельованих систем багатьох тіл. ^[5]

Позначення діаграмами

Загалом діаграму тензорної мережі (діаграму Пенроуза) можна розглядати як граф, де вершини представляють окремі тензори мережі, а ребра представляють підсумовування за індексом (або згортку мережі). Вільні індекси зображуються як ребра, приєднані лише до однієї вершини, так звані ніжки. ^[6] Іноді форма вершини, що зображує тензор має додаткове значення. Наприклад, можна використовувати трапеції для унітарних матриць та тензорів з подібною поведінкою.^[7] Таким чином, перевернуті трапеції будуть інтерпретуватися як комплексно спряжені з ними.

Зв'язок з машинним навчанням

Тензорні мережі стали вживатися для керованого навчання ^[8], використовуючи подібність математичної структури у варіаційних дослідженнях квантової механіки та глибокому машинному навчанні . Це поєднання стимулювало співпрацю між дослідниками зі сфер штучного інтелекту та квантової інформатики . У червні 2019 року Google, Інститут теоретичної фізики Perimeter і X (компанія) випустили TensorNetwork, ^[9] бібліотеку з відкритим кодом для ефективних тензорних обчислень. ^[10]

Основний інтерес до тензорних мереж та їх вивчення з точки зору машинного навчання полягає в зменшенні кількості параметрів для тренування в окремому шарі моделі, шляхом апроксимації тензора високого порядку мережею тензорів нижчих порядків. Використовуючи так звану техніку тензорного ланцюжка, ^[11] можна звести тензор порядку N (що містить експоненційно велику кількість параметрів) до ланцюжка з N тензорів порядку 2 або 3, що дає нам поліноміальне число параметрів .

Техніка тензорного ланцюжка

Дивіться також

• Тензор
• Тензорний скетч
• Тензорні діаграми
• Згортка тензора
• Блок обробки тензорів (TPU)
• Нотація Ейнштейна