Графічне позначення Пенроуза

У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році. ^[1] Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена Предрагом Цвітановичем, який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації класичних груп Лі. ^[2] Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до діаграм сліду в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в станах матричного добутку та квантових схемах .

Графічне позначення Пенроуза (позначення на тензорній діаграмі) стану матричного добутку п’яти частинок.

Інтерпретації

Мультилінійна алгебра

Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.

Тензори

Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає абстрактним верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису. ^[3]

Матриці

Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.

Зображення спеціальних тензорів

Метричний тензор

Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.

метричний тензор ${\displaystyle g^{ab}}$

метричний тензор ${\displaystyle g_{ab}}$

Тензор Леві-Чивіти

Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}}$${\displaystyle =n!}$

Структурна константа

структурна константа ${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

Структурні константи ( ${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$ ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.

Тензорні операції

Згортка індексів

Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:

Дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

Скалярний добуток ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

Симетризація

Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.

Симетризація ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ (де ${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$ )

Антисиметризація

Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.

Антисиметризація ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ (де ${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$ )

Визначник

Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.

Визначник ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

Обернена матриця ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

Коваріантна похідна

Коваріантну похідну ( ${\displaystyle \nabla }$ ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.

Коваріантна похідна ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

Тензорні маніпуляції

Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.

Наприклад, ${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!}$, де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.

Тензор кривини Рімана

Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення

Позначення тензора кривини Рімана

Тензор Річчі ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

Тотожність Річчі ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

Тотожність Б'янкі ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

Розширення

Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам . ^{[4] [5]}

Дивіться також

• Діаграми Фейнмана
• Мультилінійна алгебра
• Стан матричного добутку
• Тензор
• Тензорні мережі