Теорема Енна

В Евклідовій геометрії Теорема Енна ^{[1]:стор.1, теорема1} описує рівність певних площ у опуклому чотирикутнику.

Суми площ протилежних трикутників рівні, тобто ${\displaystyle |\triangle BCL|+|\triangle DAL|=}$ ${\displaystyle |\triangle LAB|+|\triangle DLC|}$

Названа на честь французького математика П'єра-Леона Анна (Енна) (1806—1850).

Опис

В теоремі зазначено: ^{[1]:стор.1, теорема1}, ^{[2]:стор.174 [3]:стор.95},

Нехай ABCD — опуклий чотирикутник з діагоналями AC і BD, який не є паралелограмом. Точки E, F — середини цих діагоналей, а L — довільна точка всередині ABCD.

Якщо сполучити L з вершинами чотирикутника, утвориться чотири трикутники ALB, BLC, CLD та DLA. Якщо дві суми площ протилежних трикутників рівні, тоді точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує E і F.

Існує багато доказів цієї теореми. Наступний доказ належить австралійському математику Безілу Ренні. ^{[2]:стор.175}

Доведення

Нехай L(x, y) — довільна точка де-якого геометричного місця в будь-якій зручній декартовій системі відліку, пов'язаній з чотирикутником.

Тепер, площі трикутників з нерухомою основою і рухомою вершиною (x, y), є лінійними функціями від координат x та y (що визначають висоти цих трикутників). Якщо вершина спільна для двох трикутників, їх загальна площа все одно є лінійною функцією координат рухомої вершини. Таким чином, умова, що визначає геометричне місце точок L, задається лінійним рівнянням.

Відповідно, геометричне місце має бути обмежене деякою прямою.

А оскільки медіана трикутника ділить його площу навпіл, то чітко видно, що середини діагоналей ABCD лежать на даному геометричному місці, з чого випливає висновок: дане геометричне місце — пряма, що сполучає середини діагоналей чотирикутника.

Отже, згідно теореми Енна: S_ΔBCL+S_ΔDAL=S_ΔLAB+S_ΔDLC, якщо точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує середини діагоналей E і F чотирикутника.

Прямої Ньютона не існує для паралелограма, оскільки його діагоналі діляться навпіл точкою перетину. А тотожність площ виконується для будь-якої внутрішньої точки паралелограма.

Для описаного чотирикутника, теорема Ньютона є прямим наслідком теореми Енна. ^{[3]:стор.99}

Теорема Енна є оборотною. ^{[1]:стор.2, теорема 2} Тобто якщо точка лежить на відрізку лінії Ньютона, що знаходиться всередині чотирикутника, то виконується рівність сум площ зазначених трикутників.