Топологія перекривних інтервалів

Топологією перекривних інтервалів називається топологічний простір (Х, Γ) відрізка ${\displaystyle X=[-1,1]}$, породжений множинами ${\displaystyle [-1,b),(a,1]}$, де ${\displaystyle -1<a<0<b<1}$.

Топологія Γ складатиметься з множин ${\displaystyle [-1,b),(a,b),(a,1],[-1,1]}$, ∅.

Властивості

• (Х, Γ) є ${\displaystyle T_{0}}$, але не ${\displaystyle T_{1}}$ (а отже і не ${\displaystyle T_{2}}$, ..., ${\displaystyle T_{4}}$) простором (аксіоми відокремлюваності).
• (Х, Γ) компактний.
• (Х, Γ) щільний в собі.
• (Х, Γ) гіперзв'язний, а отже зв'язний і локально зв'язний.
• (Х, Γ) задовольняє другу, а отже й першу аксіому зліченності, є сепарабельним і ліндельофовим.
• Для послідовності 0,${\displaystyle {1 \over 2}}$,0,${\displaystyle {1 \over 2}}$,0,... точка 0 є точкою накопичення, але не границею послідовності. Але будь-яка більша за ${\displaystyle {1 \over 2}}$ точка є границею цієї послідовності.
• Оскільки Γ слабша за евклідову топологію, то (Х, Γ) є лінійно зв'язним.

Див. також

• Права порядкова топологія

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover, reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446