Евклідова топологія дійсної прямої

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Її стандартну базу складають інтервали ${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$. ^[1]

Властивості

• Евклідова топологія на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ породжена евклідовою метрикою ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, де ${\displaystyle |x|}$ означає абсолютне значення (модуль) дійсного числа ${\displaystyle x}$. Таким чином, метричний простір ${\displaystyle \mathbb {R} }$ задовольняє всі аксіоми відокремлюваності. Крім того, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ є повним метричним простором другої категорії.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки множини вигляду ${\displaystyle (a,b)}$, де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ раціональні, є зліченною базою ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тому ${\displaystyle \mathbb {R} }$ задовольняє першу аксіому зліченності, є ліндельофовим і сепарабельним. Множина раціональних чисел є зліченною скрізь щільною в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ множиною.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не є зліченно компактним простором, бо відкриті інтервали ${\displaystyle (n,n+2)}$ для всіх цілих n покривають ${\displaystyle \mathbb {R} }$, але жодна їх скінченна сукупність не є покриттям ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Але ${\displaystyle \mathbb {R} }$ локально компактний і σ-компактний, оскільки відрізки ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$, компактні.

• Будь-яка замкнена в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ множина ${\displaystyle A}$ є ${\displaystyle G_{\sigma }}$-множиною, оскільки ${\displaystyle A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}$, де ${\displaystyle A_{n}}$ — окіл множини ${\displaystyle A}$ радіусу ${\displaystyle 1/n}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, тобто ${\displaystyle A_{n}=\bigcup _{x\in A}B(x,1/n)}$. Кожна точка, що не належить ${\displaystyle A}$, міститься в ε-околі, який не перетинається з ${\displaystyle A}$, і таким чином не перетинається з деяким ${\displaystyle A_{n}}$.

• Будь-яке відкрите покриття ${\displaystyle \mathbb {R} }$ покриває кожен компактний відрізок ${\displaystyle [n,n+1]}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, тому відкрите покриття може бути зменшене до послідовності скінченних підпокриттів ${\displaystyle {G_{i}^{n}}}$ кожного відрізка ${\displaystyle [n,n+1]}$. Тоді множини ${\displaystyle {G_{i}^{n}}\cap (n-1,n+2)}$ утворюють локально скінченне покриття, вписане в початкове відкрите покриття. Таким чином, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ паракомпактний.

• Топологія на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ також може бути задана квазіметрикою ${\displaystyle d(x,y)=y-x}$, коли ${\displaystyle y\geqslant x}$, і ${\displaystyle d(x,y)=2(x-y)}$, коли ${\displaystyle y<x}$.

• Набір множин ${\displaystyle S_{ab}=\{(x,y)|x,y<b}$ чи ${\displaystyle x,y>a\}}$, де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle a<b}$, є передбазою рівномірності ${\displaystyle U}$, породженої природною топологією на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, але ${\displaystyle U}$ не є звичайною метричною рівномірністю.

• Евклідів ${\displaystyle n}$-вимірний простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ визначається як добуток n копій ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Еквівалентна база складається з відкритих ${\displaystyle n}$-вимірних куль відносно евклідової метрики ${\displaystyle d(x,y)=(\Sigma \ (x_{i}-y_{i})^{2})^{\frac {1}{2}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.