Уніпотентний елемент

В математиці елемент деякого кільця називається уніпотентним, якщо він є сумою одиниці кільця і нільпотентного елемента. Важливим прикладом є уніпотентні матриці і лінійні оператори у скінченновимірних векторних просторах.

Оскільки кожна алгебрична лінійна група є ізоморфною замкнутій підгрупі загальної лінійної групи, через розклад Жордана — Шевальє поняття уніпотентних елементів можна ввести для довільної лінійної алгебричної групи. Ці елементи та підгрупи, усі елементи яких є уніпотентними, відіграють важливу роль у вивченні лінійних алгебричних груп і алгебричних многовидів загалом.

Означення

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем з одиничним елементом ${\displaystyle 1}$. Елемент ${\displaystyle r\in R}$ називається уніпотентним, якщо ${\displaystyle r-1}$ є нільпотентним елементом, тобто якщо

${\displaystyle (r-1)^{n}=0}$

для деякого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Уніпотентні елементи лінійної алгебричної групи

Уніпотентним елементом лінійної алгебричної групи ${\displaystyle G}$, називається елемент, що збігається з уніпотентною компонентою ${\displaystyle g_{u}}$ свого розкладу Жордана — Шевальє в групі ${\displaystyle G}$.

Якщо реалізувати ${\displaystyle G}$ як замкнуту підгрупу групи ${\displaystyle GL(V)}$ автоморфізмів скінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$ над основним алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle K}$, то уніпотентний елемент ${\displaystyle g}$ — це елемент, для якого ${\displaystyle (1-g)^{n}=0,\;\;n=\dim V}$, або елемент, матриця якого в деякому базисі простору ${\displaystyle V}$ є уніпотентною матрицею.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то всякий уніпотентний елемент ${\displaystyle g}$ має нескінченний порядок. В цьому випадку найменша алгебрична підгрупа в ${\displaystyle G}$, що містить ${\displaystyle g}$, є одновимірною уніпотентною групою.

Якщо ж ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, то ${\displaystyle g}$ буде уніпотентним елементом тоді і тільки тоді, коли він має скінченний порядок, рівний ${\displaystyle p^{t}}$ для деякого ${\displaystyle t\geqslant }$. Зв'язана група не містить уніпотентних елементів тоді і тільки тоді, коли вона є алгебричним тором.

Многовид уніпотентних елементів

• Множина ${\displaystyle U(G)}$ всіх уніпотентних елементів у ${\displaystyle G}$ є замкнутою в топології Зариського. Якщо ${\displaystyle G}$ визначена над підполем ${\displaystyle k\subset K}$ то і ${\displaystyle U(G)}$ є визначеною над ${\displaystyle k}$.
• Многовид ${\displaystyle U(G)}$ є інваріантним щодо внутрішніх автоморфізмів групи ${\displaystyle G}$.
• Для зв'язаної і напівпростої групи ${\displaystyle G}$ кількість класів спряженості уніпотентних елементів є скінченною.
• Для кожної простої групи ${\displaystyle G}$ відомий їх повний опис класів суміжності уніпотентних елементів, а також їх централізаторів (^[1]). У класичних групах такий опис одержується з використанням жорданової форми матриці ^[2].
• Наприклад, для групи ${\displaystyle G=SL_{n}(K)}$ існує бієкція між класами спряженості уніпотентних елементів і розбиттями ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{s})}$ числа ${\displaystyle n}$ у суму додатних цілих доданків ${\displaystyle m_{i},\;\;m_{1}\geqslant m_{2}\geqslant \ldots \geqslant m_{s}}$. Якщо ${\displaystyle \lambda =(m_{1},\ldots ,m_{s})}$ і ${\displaystyle \mu =(l_{1},\ldots ,l_{t})}$ — два розбиття числа ${\displaystyle n}$, то клас, який відповідає ${\displaystyle \lambda }$ містить в своєму замиканні клас, який відповідає ${\displaystyle \mu }$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}m_{j}\geqslant \sum _{i=1}^{j}l_{j}}$ для всіх ${\displaystyle j}$. Розмірність класу, що відповідає розбиттю ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{s})}$, як алгебричного многовида, дорівнює ${\displaystyle n^{2}-\sum _{ij}\min(m_{i},m_{j})}$.
• Множина всіх регулярних точок алгебричного многовида ${\displaystyle U(G)}$ утворює один клас спряженості уніпотентних елементів — регулярні уніпотентні елементи. Якщо ${\displaystyle G}$ є простою, то многовид особливих точок многовида ${\displaystyle U(G)}$ також містить відкритий в топології Зариського клас спряженості уніпотентних елементів — субрегулярні уніпотентні елементи (^[3] ).

Уніпотентні групи

Підгрупа ${\displaystyle U}$ лінійної алгебричної групи ${\displaystyle G}$, що складається з уніпотентних елементів називається уніпотентною групою.

Приклади

• Прикладом уніпотентної групи є група ${\displaystyle U_{n}(K)}$ всіх верхніх трикутних матриць з ${\displaystyle GL_{n}(K)}$ з одиницями на діагоналі. Якщо ${\displaystyle k}$ — підполе поля ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle U}$ — уніпотентна підгрупа в ${\displaystyle GL_{n}(k)}$ то ${\displaystyle U}$ є спряженою над ${\displaystyle k}$ з деякою підгрупою групи ${\displaystyle U_{n}(k)}$. Зокрема, всі елементи з ${\displaystyle U}$ мають у ${\displaystyle V}$ спільний ненульовий власний вектор, a ${\displaystyle U}$ є нільпотентною групою. Тобто з точністю до ізоморфізму уніпотентні групи це підгрупи груп ${\displaystyle U_{n}(K)}$ при різних ${\displaystyle n}$.
• Для комутутивної лінійної алгебричної групи множина ${\displaystyle U(G)}$ всіх уніпотентних елементів у ${\displaystyle G}$ є замкнутою алгебричною підгрупою, тобто вона є уніпотентною групою.

Властивості

• У будь-якій лінійній алгебричній групі ${\displaystyle H}$ є єдина зв'язана нормальна уніпотентна підгрупа ${\displaystyle R_{u}(H)}$, яка називається уніпотентним радикалом. Факторгрупа ${\displaystyle H/R_{u}(H)}$ є редуктивною групою. Це до певної міри зводить вивчення будови будь-якої групи до вивчення будови редуктивних груп і уніпотентних груп. На відміну від редуктивного випадку класифікація алгебричних уніпотентна група невідома.
• Будь-яка підгрупа і довільна факторгрупа алгебричної уніпотентної групи знову є уніпотентною групою.
• Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то ${\displaystyle U}$ завжди є зв'язаною, причому експоненціальне відображення ${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {u}}\to U} (де ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ — алгебра Лі групи ${\displaystyle U}$) є ізоморфізмом алгебричних многовидів.
• Якщо ж ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, то існують незв'язані алгебричні уніпотентні групи: наприклад, адитивна група ${\displaystyle G_{a}}$ основного поля. (Її можна ототожнити з ${\displaystyle U_{2}(K)}$) є ${\displaystyle p}$-групою і тому містить скінченну уніпотентну групу.
• У зв'язаній уніпотентній групі ${\displaystyle U}$ завжди є така послідовність нормальних дільників що всі фактори ${\displaystyle U_{i}/U_{i+1}}$ є одновимірними. Будь-яка зв'язана алгебрична одновимірна уніпотентна група є ізоморфною ${\displaystyle G_{a}}$. Це зводить вивчення зв'язаних алгебричних уніпотентних груп до опису кратних розширень груп типу ${\displaystyle G_{a}}$.
• Якщо ${\displaystyle H\subset U}$ — зв'язані алгебричні уніпотентні групи то многовид ${\displaystyle U/H}$ є ізоморфним афінному простору. Будь-яка орбіта алгебричної уніпотентної групи автоморфізмів афінного алгебричного многовиду ${\displaystyle X}$ є замкнутою в ${\displaystyle X}$ ^[4].

Комутативні уніпотентні групи

• Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} K=0}$, то всі комутативні групи є ізоморфними ${\displaystyle G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}}$ і при цьому ізоморфізм задається експоненціальним відображенням ^[5].
• У випадку ${\displaystyle \operatorname {char} K=p>0}$, зв'язані комутативні алгебричні уніпотентні групи ${\displaystyle U}$ — це зв'язані комутативні алгебричні групи, які є ${\displaystyle p}$-групами. В цьому випадку ${\displaystyle U}$ є ізоморфною ${\displaystyle G_{a}\times G_{a}\times \ldots G_{a}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle g^{p}=e}$ для будь-якого ${\displaystyle g\in G}$. У загальному випадку ${\displaystyle U}$ є ізогенною добутку так званих груп Вітта ^[6].