Інтегральний оператор Фредгольма

Інтегра́льний опера́тор Фредгольма — цілком неперервний лінійний інтегральний оператор вигляду

${\displaystyle (Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,}$

що відображає один простір функцій в інший. Тут ${\displaystyle G}$ — область в евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,t)}$ — функція, задана на декартовому квадраті ${\displaystyle G\times G}$, звана ядром інтегрального оператора^[1]. Для цілком неперервності оператора ${\displaystyle A}$ на ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ накладаються додаткові обмеження. Найчастіше розглядають неперервні ядра^[2], ${\displaystyle L_{2}}$-ядра^[3][4], а також полярні ядра^[2][5]. Інтегральний оператор Фредгольма та його властивості використовують при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма.

Властивості

Лінійність

Інтегральний оператор Фредгольма є лінійним, тобто ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$.

Неперервність

Інтегральний оператор з неперервним на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$^[6] ядром ${\displaystyle K(x,y)}$, переводить ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (і, отже, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ і ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$) і обмежений (неперервний), причому

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

де

${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$^[7].

Інтегральний оператор з ${\displaystyle L_{2}}$-ядром:

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$

переводить ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, неперервний і задовольняє оцінці:

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$^[1][8]

Існують умови неперервності інтегральних операторів з ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$^[9].

Цілком неперервність

Інтегральний оператор із неперервним ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ є цілком неперервним з ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ тобто переводить будь-яку множину, обмежену в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ у множину, передкомпактну в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$^[10]. Цілком неперервні оператори чудові тим, що для них справедлива альтернатива Фредгольма. Інтегральний оператор з неперервним ядром є границею послідовності скіняенних операторів із виродженими ядрами. Аналогічні твердження справедливі для інтегрального оператора з ${\displaystyle L_{2}}$-ядром^[11].

Існують також слабші достатні умови цілком неперервності (компактності) інтегрального оператора з ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$^[12].

Спряжений оператор

Споряжений оператор до оператора ${\displaystyle A}$ з ${\displaystyle L_{2}}$-ядром у гільбертовому просторі ${\displaystyle L_{2}(G)}$ має вигляд

${\displaystyle (A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.}$

Якщо ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$, то інтегральний оператор Фредгольма ${\displaystyle A}$ є самоспряженим^[1][11].

Обернений оператор

За досить малих значень ${\displaystyle |\lambda |}$ оператор ${\displaystyle I-\lambda A}$ (де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор) має обернений вигляду ${\displaystyle I+\lambda R}$, де ${\displaystyle R}$ — інтегральний оператор Фредгольма з ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентою ядра ${\displaystyle K(x,y)}$^[13].

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Теорія Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Цілком неперервний оператор