Центр Шпікера

Центр Шпікера — чудова точка трикутника, яка визначається як центр мас периметра трикутника; тобто центр ваги однорідного дроту, який проходить по периметру трикутника ^[1][2].

Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника

Точку названо на честь німецького геометра XIX століття Теодора Шпікера^[en][3]. В Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга вказана як X(10)^[4].

Властивості

Центр Шпікера (S) трикутника є центром перетину кліверів (позначені синіми лініями).

Центр Шпікера ${\displaystyle S}$ — радикальний центр трьох зовнівписаних кіл ${\displaystyle \triangle ABC}$. Зеленим кольором позначено радикальні осі відповідних пар кіл; вони перпендикулярні до ліній центрів.

• Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника ^[1]. Тобто центр Шпікера ${\displaystyle \triangle ABC}$ є центром кола, вписаного в серединний трикутник ${\displaystyle \triangle ABC}$ (в його додатковий трикутник)^[5]. Це коло називають колом Шпікера^[en].

• Центр Шпікера є центром кліверів трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$^[1]. Тобто всі три клівери трикутника перетинаються в одній точці — в центрі Шпікера ${\displaystyle S}$. (Клівер трикутника — це відрізок, одна вершина якого міститься в середині однієї зі сторін трикутника, друга вершина міститься на одній з двох інших сторін, при цьому клівер розбиває периметр навпіл.)

• Центр Шпікера, інцентр (${\displaystyle I}$), центроїд(${\displaystyle G}$) і точка Наґеля (${\displaystyle M}$) Трикутника лежать на одній прямій — на другий прямій Ейлера (прямій Ейлера — Нагеля). Більш того^[6],

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$

• Центр Шпікера лежить на гіперболі Кіперта трикутника.

• Центр Шпікера ${\displaystyle \triangle ABC}$ є точкою перетину прямих ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ і ${\displaystyle CZ}$, де ${\displaystyle \triangle XBC}$, ${\displaystyle \triangle YCA}$ і ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ зовні, мають однаковий кут при основі ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)}$.
  • Ця властивість виконується не тільки для центра Шпікера. Наприклад, перша точка Наполеона ${\displaystyle N_{1}}$, як і центр Шпікера, є точкою перетину прямих ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ і ${\displaystyle CZ}$, де ${\displaystyle \triangle XBC}$, ${\displaystyle \triangle YCA}$ і ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подібні, рівнобедрені й однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ зовні, мають однаковий кут при основі ${\displaystyle 30^{\circ }}$.

• Центр Шпікера є радикальним центром трьох зовнівписаних кіл^[7].
• Трикутні координати точки ${\displaystyle S}$^[4]: ${\displaystyle (bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))}$.

• Барицентричні координати центра Шпікера^[4]:

  ${\displaystyle (b+c,c+a,a+b)}$.