Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Центр кола дев'яти точок

чудова точка трикутника З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Центр кола дев'яти точок
Remove ads

Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга[ru][1][2].

Thumb
Трикутник, описане навколо нього коло (чорне) та його центр (чорний), висоти трикутника (частина висоти, розташована всередині кола Ейлера, синя, а поза ним — чорна) та коло дев'яти точок (синє) і його центр (синій)
Remove ads

Властивості

Узагальнити
Перспектива

Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.

  • Ендрю Гінанд[en] 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині ортоцентроїдального кола[en] (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутник[4][5][6][7].
  • Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра задовольняє формулам:

де і  — радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.

  • Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника Ейлера[8][3]. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
  • Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра[9].
  • З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
  • Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки)[3].
  • За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного кола[10].
Thumb
Точка Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок
Remove ads

Координати

Узагальнити
Перспектива

Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівні[1][2]:

Барицентричні координати центра рівні[2]:

Remove ads

Примітки

Література

Посилання

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads