Щільний порядок

Щільний порядок — бінарне відношення між елементами множин у частковому або лінійному порядку (позначимо його <) на множині X, коли для всіх x і y з X, для яких виконується x < y, існує елемент z в X, такий що x < z < y. Іншими словами, порядок називають щільним, коли немає сусідніх елементів. Оскільки між будь-якими двома елементами щільного порядку є ще хоча б один, будь-який відрізок щільного порядку нескінченний^[1].

Приклад

Щільною впорядкованою множиною є дійсні числа і раціональні числа зі звичайним порядком. З іншого боку, звичайний порядок цілих чисел щільним не є.

Єдиність

Георг Кантор довів, що дві будь-які щільні лінійно впорядковані зліченні множини без нижньої і верхньої меж ізоморфні відносно впорядкування^[2]. Зокрема, існує ізоморфізм зі збереженням порядку між раціональними числами та іншими щільними зліченними множинами, включно з двійково-раціональними числами й алгебричними числа. У методі підбору^[en][3] використовується доведення цього результату.

Для визначення ізоморфізмів порядку між квадратичними алгебричними числами і раціональними числами, а також між раціональними числами і двійково-раціональними числами можна використати функцію Мінковського.

Узагальнення

Бінарне відношення R вважається щільним, якщо для всіх пов'язаних відношенням R x і y, є z, таке що x і z, а також z і y пов'язані відношенням R. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$

У термінах суперпозиції відношень^[en] R із собою, умову щільності можна альтернативно виразити як ${\displaystyle R\subseteq RR}$^[4].

Достатніми умовами до того, що бінарне відношення R на множині X матиме щільний порядок, є випадки коли:

• R рефлексивне;
• R корефлексивне ;
• R квазірефлексивне ;
• R ліво- або правоевклідове;
• R симетричне і напівконексне^[en] і X має ${\displaystyle \geqslant 3}$ елементів.

Жодна з них не є необхідною. Непорожнє щільне відношення не може бути антитранзитивним.

Строго частковий порядок < є щільним порядком тоді і тільки тоді, коли < є щільним відношенням. Щільне відношення є ідемпотентним відношенням^[en], коли воно також транзитивне.

Див. також

• Щільна множина
• Щільна в собі підмножина^[en]
• Семантика Кріпке — щільне відношення досяжності, яке відповідає аксіомі ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$