Стала Гельфонда–Шнайдера

Не плутати з константою Гельфонда^[en]

Стала Гельфонда–Шнайдера або число Гільберта^[1] дорівнює двійці у степені квадратного кореня з двох:

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots }$

Трансцендентність цього числа була доведена Р.О. Кузьміним^[en] у 1930 році.^[2] У 1934 році Олександр Гельфонд і Теодор Шнайдер^[en] незалежно один від одного довели більш загальну теорему Гельфонда–Шнайдера^[en][3], яка вирішила частину сьомої проблеми Гільберта^[en], описаної нижче.

Властивості

Квадратний корінь зі сталої Гельфонда–Шнайдера є трансцендентним числом:

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}63252691943815284477\ldots \,.}$

Цю ж саму сталу можна використати для доведення, що ``ірраціональна степінь ірраціонального числа може бути раціональним числом, навіть без попереднього доведення трансцендентності ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Доведення наступне: або число ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ є раціональним, що доводить теорему, або воно є ірраціональним (як виявляється), і тоді число

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$

є ірраціональним числом в ірраціональному степені, а отже, є раціональним, що й доводить теорему.^[4][5] Доведення не є конструктивним, оскільки не вказує, який із двох випадків вірний, але воно набагато простіше, ніж доведення Р. Кузьміна^[en].

Сьома проблема Гільберта

Частина сьомої з двадцяти трьох проблем Гільберта, поставлених у 1900 році, полягала в тому, щоб довести або знайти контрприклад до твердження, що вираз ${\displaystyle a^{b}}$ завжди є трансцендентним для алгебраїчної сталої ${\displaystyle a\neq 0,1}$ та ірраціональної алгебраїчної сталої ${\displaystyle a^{b}}$. У своїй промові він навів два явних приклади, один із яких — стала Гельфонда–Шнайдера ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$.

У 1919 році він прочитав лекцію з теорії чисел і розповів про три припущення: гіпотезу Рімана, останню теорему Ферма та трансцендентність ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Він зазначив аудиторії, що не сподівався, що хтось із присутніх у залі проживе достатньо довго, щоб побачити доведення цього результату.^[6] Але доказ трансцендентності цього числа був опублікований Р. Кузьміним у 1930 році^[2], ще за життя Д. Гільберта. А саме, Р. Кузьмін довів випадок, коли показник степеня ${\displaystyle b}$ є дійсним квадратичним ірраціональним числом, який пізніше був розширений до довільного алгебраїчного ірраціонального числа ${\displaystyle b}$ Гельфондом і Шнайдером.

Див. також

• константа Гельфонда^[en]