伴随向量映射原理

伴随向量映射原理（covector mapping principle）是泛函分析的基础定理里斯表示定理中的一个特例。名称是由Ross（英语：I. Michael Ross）和其工作伙伴所命名^{[1][2][3][4][5][6]}。伴随向量映射原理提供了运算型最优控制中，可以将离散化和对偶性（dualization）交换顺序的条件。

说明

假设要将庞特里亚金最大化原理应用在问题${\displaystyle B}$，会从给定的最佳控制问题产生一个边值问题。依照Ross的论点，此边值问题是庞特里亚金提升（Pontryagin lift），表示为问题${\displaystyle B^{\lambda }}$。

现在要离散化问题${\displaystyle B^{\lambda }}$，这会产生问题${\displaystyle B^{\lambda N}}$，其中${\displaystyle N}$ 表示离散化的点数。为了方便起见，有需要证明下式成立：

${\displaystyle N\to \infty ,\quad {\text{Problem }}B^{\lambda N}\to {\text{Problem }}B^{\lambda }}$

在1960年代Kalman等人^[7]就已证明要求解${\displaystyle B^{\lambda N}}$会非常的困难。此困难性称之为“复杂度咒诅”（curse of complexity）^[8]，是“维度咒诅”（dimensionality）的互补。

在1990年代开始的一系列论文中，Ross和Fahroo证明有更简单求解问题${\displaystyle B^{\lambda }}$（因此也包括问题${\displaystyle B}$）的方法，作法是先进行离散化（问题${\displaystyle B^{N}}$）再进行对偶（问题${\displaystyle B^{N\lambda }}$）。此作法需要很小心的进行，以确保解的一致性及收敛。伴随向量映射原理确保可以找到一个伴随向量的映射律，将问题${\displaystyle B^{N\lambda }}$的解映射到问题${\displaystyle B^{\lambda N}}$的解。

相关条目

• 勒壤得拟谱法
• Ross–Fahroo拟谱法
• Ross–Fahroo引理