唯一素数

唯一素数（Unique prime）是指一个不为2、5（在十进制时），且有以下性质的素数p：不存在其他素数q，其倒数1 / q的循环节长度和1 / p的循环节长度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates所提出。

可以证明素数p其倒数的循环节长度为n当且仅当存在一自然数c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}}$

其中Φ_n(x)为n次的分圆多项式。至2010年为止，已经找到逾50个唯一素数或者有此性质的可能素数，但是小于10¹⁰⁰的唯一素数只有23个。以下是这些唯一素数（OEIS数列A040017）及其循环节位数（OEIS数列A051627）：

倒数循环节长度	素数
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9,091
12	9,901
9	333,667
14	909,091
24	99,990,001
36	999,999,000,001
48	9,999,999,900,000,001
38	909,090,909,090,909,091
19	1,111,111,111,111,111,111
23	11,111,111,111,111,111,111,111
39	900,900,900,900,990,990,990,991
62	909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120	100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150	10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106	9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93	900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134	909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294	142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196	999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

倒数循环节长度294位的唯一素数类似7的倒数（0.142857142857142857...）。

接续上表的第24个唯一素数有128位，倒数循环节长度为320位，可以写成(9₃₂0₃₂)₂+1，其中下标n表示前面的一个数字或一组数字会重复出现n次。

所有循环单位素数都是唯一素数。依照循环单位素数及循环单位可能素数出现的频率来看，唯一素数非常的少见，不过数学家们仍强烈推论有无穷多个唯一素数。

至2010年为止，循环单位(10²⁷⁰³⁴³-1)/9是已知最大的可能唯一素数^[1]。

至1996年为止，确定是素数的最大唯一素数是(10¹¹³² + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示为(99990000)₁₄₁+ 1，其倒数循环节长度为为2264位，后来陆续证明更大的唯一素数，至2010年为止，确定是素数的最大唯一素数有10081位数^[2]。

二进制中的唯一素数

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... （OEIS数列A144755）：

其循环节长度分别为： 2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......（OEIS数列A161508）：

这当中包含了所有费马素数(循环节长度为2的乘方)，梅森素数(循环节长度为素数)及瓦格斯塔夫素数(循环节长度为奇素数的两倍)

以下为不超过2⁶⁴之二进制唯一素数列表：

倒数循环节长度	素数	二进制表示法
2	3	11
4	5	101
3	7	111
10	11	1011
12	13	1101
8	17	1 0001
18	19	1 0011
5	31	1 1111
20	41	10 1001
14	43	10 1011
9	73	100 1001
7	127	111 1111
15	151	1001 0111
24	241	1111 0001
16	257	1 0000 0001
30	331	1 0100 1011
21	337	1 0101 0001
22	683	10 1010 1011
26	2,731	1010 1010 1011
42	5,419	1 0101 0010 1011
13	8,191	1 1111 1111 1111
34	43,691	1010 1010 1010 1011
40	61,681	1111 0000 1111 0001
32	65,537	1 0000 0000 0000 0001
54	87,211	1 0101 0100 1010 1011
17	131,071	1 1111 1111 1111 1111
38	174,763	10 1010 1010 1010 1011
27	262,657	100 0000 0010 0000 0001
19	524,287	111 1111 1111 1111 1111
33	599,479	1001 0010 0101 1011 0111
46	2,796,203	10 1010 1010 1010 1010 1011
56	15,790,321	1111 0000 1111 0000 1111 0001
90	18,837,001	1 0001 1111 0110 1110 0000 1001
78	22,366,891	1 0101 0101 0100 1010 1010 1011
62	715,827,883	10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
31	2,147,483,647	111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
80	4,278,255,361	1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001
120	4,562,284,561	1 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001
126	77,158,673,929	1 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001
150	1,133,836,730,401	1 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001
86	2,932,031,007,403	10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
98	4,363,953,127,297	11 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001
49	4,432,676,798,593	100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001
69	10,052,678,938,039	1001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111
65	145,295,143,558,111	1000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111
174	96,076,791,871,613,611	1 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
77	581,283,643,249,112,959	1000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111
93	658,812,288,653,553,079	1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111
122	768,614,336,404,564,651	1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011
61	2,305,843,009,213,693,951	1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
85	9,520,972,806,333,758,431	1000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111
192	18,446,744,069,414,584,321	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001