嵌入 (数学)

数学上，嵌入是指一个数学结构经映射包含到另一个结构中。某个物件 ${\displaystyle X}$ 称为嵌入到另一个物件 ${\displaystyle Y}$ 中，是指有一个保持结构的单射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，这个映射 ${\displaystyle f}$ 就给出了一个嵌入。上述“保持结构”的准确意思，需由所讨论的结构而定。一个保持结构的映射，在范畴论中称为态射。

要表达 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是一个嵌入，有时会使用带钩箭号 ${\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}$。但这个带钩箭号有时只留作表示包含映射时用。

拓扑与几何

点集拓扑

拓扑学上，一个嵌入是一个单射，使得拓扑空间到其像上为同胚。换言之，两个拓扑空间 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$之间的一个连续单射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是一个拓扑嵌入，如果 ${\displaystyle f}$ 给出 ${\displaystyle X}$ 与 ${\displaystyle f(X)}$ 间的同胚（空间 ${\displaystyle f(X)}$ 上的拓扑是由 ${\displaystyle Y}$ 诱导的子空间拓扑。）凡是连续单射的开映射或闭映射都是拓扑嵌入，不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射：当其像 ${\displaystyle f(X)}$ 不是 ${\displaystyle Y}$ 中的开集或闭集时，便发生这种情况。

微分拓扑

在微分拓扑中，令 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$为光滑流形，而 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ 为光滑映射。则如果f的微分处处皆为单射，则称 ${\displaystyle f}$ 为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入，又称为光滑嵌入。换言之，嵌入是微分同胚于其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一个局部嵌入，即在每点${\displaystyle x\in M}$，都有邻域${\displaystyle U\ni x}$，使得限制到这邻域上的${\displaystyle f|_{U}\colon U\to N}$是嵌入。如果${\displaystyle M}$ 是紧致流形，则M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一个重要情形是在 ${\displaystyle N}$ 为${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$时。这情形引起兴趣之处，在于对任何 ${\displaystyle m}$ 维流形 ${\displaystyle M}$，${\displaystyle n}$ 需多大才保证有从 ${\displaystyle M}$ 到${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指 ${\displaystyle n=2m}$ 便足够，而且是最好的上界。例如嵌入一个 ${\displaystyle m}$ 维的实射影平面便需要 ${\displaystyle n=2m}$。

如果将光滑嵌入的定义中，${\displaystyle f}$ 为光滑映射的条件放宽为 ${\displaystyle C^{k}}$映射，其中 ${\displaystyle k}$ 是正整数，而其余条件不变，则${\displaystyle f}$ 称为 ${\displaystyle C^{k}}$ 嵌入。

黎曼几何

在黎曼几何中，设${\displaystyle (M,g)}$, ${\displaystyle (N,h)}$是黎曼流形，一个等距嵌入是一个光滑嵌入 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$，令黎曼度量保持不变，即将 ${\displaystyle h}$ 由 ${\displaystyle f}$ 拉回等于 ${\displaystyle g}$，就是 ${\displaystyle g=f^{*}(h)}$。更明确言之，对 ${\displaystyle M}$ 中任何一点${\displaystyle x}$，及任何两个切向量

${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

都有

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

度量空间

设${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$为度量空间，映射${\displaystyle f\colon X\to Y}$是一个拓扑嵌入。如果 ${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle f^{-1}}$（定义在 ${\displaystyle f(X)}$ 上）都是利普希茨连续，则称 ${\displaystyle f}$ 为双利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。换言之，如果存在常数${\displaystyle L\geq 1}$，使得

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\ d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(f(x),f(y))\leq L\ d_{X}(x,y)}$，

则称 ${\displaystyle f}$ 为(${\displaystyle L}$-)双利普希茨嵌入。

一个更广义的嵌入是拟对称嵌入(quasisymmetric embedding)。如前设 ${\displaystyle f}$ 为拓扑嵌入。${\displaystyle f}$ 称为(${\displaystyle \eta }$-)拟对称嵌入，如果存在同胚 ${\displaystyle \eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$（即 ${\displaystyle \eta (0)=0}$ 且 ${\displaystyle \eta }$ 为严格递增的连续函数），使得 ${\displaystyle X}$ 中任何三点 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$若满足

${\displaystyle d_{X}(x,a)\leq t\ d_{X}(x,b)}$，

其中 ${\displaystyle t>0}$，则有

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(a))\leq \eta (t)\ d_{Y}(f(x),f(b)).}$

若 ${\displaystyle f}$ 是一个 ${\displaystyle L}$-双利普希茨嵌入，可令 ${\displaystyle \eta (t)=L^{2}t}$，则 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \eta }$-拟对称嵌入。

双利普希茨嵌入的一个相关概念是拟等距嵌入。拟等距嵌入虽名为嵌入，却不一定是嵌入，因其未必是单射。

代数

域论

域论上，从一个域 ${\displaystyle E}$ 到另一个域 ${\displaystyle F}$ 中的一个嵌入，是一个环同态 ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$。因为环同态的核是一个理想，而域的理想只有0及整个域本身，又 ${\displaystyle \sigma (1)=1}$，故其核不能为整个域，即知核为0。因此这个环同态必定是单态射，而 ${\displaystyle E}$ 和在 ${\displaystyle F}$ 中的 ${\displaystyle \sigma (E)}$ 同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

序理论

关于序理论中的嵌入，可参见序嵌入。

参考

• Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.
• Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0.