黃金進制 - Wikiwand
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黃金進制

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底數區分的進位制系統
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黃金進制(英語:Golden ratio base)是使用黃金比φ作為底數的進位制,其中 φ = 1 + 5/2 ≈ 1.61803399... 是一個無理數。在英語中,黃金進制也叫做base-φgolden mean basephi-basephinary。在黃金進制下,任何非負整數都約定使用0和1表示,並且不連續使用兩個1,這叫做黃金進制的標準形。任何黃金進制的數凡是出現11,就一定可以根據黃金比φ的性質 φ+1=φ2 表示成標準形。例如,11φ = 100φ

雖然黃金進制使用無理數作為基底,任何非負整數在黃金進制下都可以表示成有限小數。所有有理數則都可以表示成循環小數。所有數的有限表示都是唯一的,但和十進制一樣,整數和有限小數都可以寫成無限小數的形式,如十進制中的 1 = 0.99999…

舉例

十進制數 用φ的表示 φ進制數
1 φ0 1     
2 φ1 + φ−2 10.01  
3 φ2 + φ−2 100.01  
4 φ2 + φ0 + φ−2 101.01  
5 φ3 + φ−1 + φ−4 1000.1001
6 φ3 + φ1 + φ−4 1010.0001
7 φ4 + φ−4 10000.0001
8 φ4 + φ0 + φ−4 10001.0001
9 φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4 10010.0101
10 φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4 10100.0101

轉化到標準形

211.01φ是φ進制數,但並非標準形,因為它含有「11」和「2」,以及1=-1。我們可以根據以下公式將它轉化到標準形:

  • 011φ = 100φ
  • 0200φ = 1001φ
  • 010φ = 101φ

公式的代換過程對結果沒有影響。具體過程如下:

  211.01φ
  300.01φ     011φ → 100φ
 1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ (again)
10001.101φ    010φ101φ
10000.011φ    010φ101φ (again)
10000.1φ      011φ → 100φ (again)

任意非標準形正數都可以唯一地標準化。這樣處理之後如果第一位是負數,此時需要將每一位數都變成相反數,重新標準化並加上負號。例如:

101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ

整數的黃金進制表示

通常所說的整數在黃金進制下是有限小數。例如,整數5轉化成黃金進制的過程如下所示:

  1. 5以下φ的最高次冪是 φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236;
  2. 與5求差為5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763;
  3. 0.763以下最大的φ的冪是 φ-1 = -1 + 1φ ≈ 0.618;
  4. 再次求差,4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
  5. 0.145以下最大的φ的冪是 φ-4 = 5 - 3φ ≈ 0.145;
  6. 再次求差得到0
  7. 於是: 5 = φ3 + φ-1 + φ-4

5用φ進制表示就是1000.1001φ

這裏其實利用了以下事實:凡φ的冪都可以用整數ab表示成 a + b φ 的形式。因為 φ2 = φ + 1 、φ-1 = -1 + φ 。如此一來,數之間比大小就容易了。實際上,a + bφ > c + dφ 和 2(ac) - (db) > (db) × √5 等價。只需將 φ = (1+√5)/2 代入,稍作處理就可得到這一結果。

黃金進制下的有限小數不全是整數,還包括元素

數的表示不唯一

和其他進位制相同,黃金進制中也可以用多種形式表示同一個數。就像10進制中0.999...=1,φ進制中0.1010101…φ=1。

  • 使用非標準形變換:1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
  • 使用等比級數展開:1.0101010…φ 等於
  • 錯項相減:φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ 所以 x = φ/(φ2 - 1) = 1

這種不唯一是進位制的特徵,1.0000和0.101010…都是標準形。一般地,φ進位制中數最後的1用01循環代替即可得到另一標準形。

有理數的黃金進制表示

在黃金進制中,可以用有限小數或者循環小數表示任意非負有理數,以及從有理數√5生成的Q[√5]中的非負元素。其中

相反地,黃金進制中的有限/循環小數都是Q[√5] 中的非負元素。例如:

  • 1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... φ
  • 1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... φ
  • √5 = 10.1φ
  • 2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ...φ

對這一點的證明與十進制中類似。在黃金進制下進行長除法。因為其餘數的可能值是有限個,所以必定會出現循環。例如 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ 進行長除法如下:

               .0 1 0 0 1
        ________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1                        代换 10000 = 1100 = 1011
            _______                        于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  _______
                      etc.

反之,黃金進制中的循環小數都屬於Q[√5]。因為循環部分形成了等比級數,對它求和即可得到Q[√5]的元素。

無理數的黃金進制表示

常見無理數的黃金進制表示如下:

  • π ≈ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ...φ A102243
  • e ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ...φ A105165
  • √2 ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ...φ
  • φ = (1+√5)/2 = 10φ
  • √5 = 10.1φ

四則運算

在黃金進制中可以和其它進制一樣進行四則運算。加法、減法、乘法的計算方法如下:

加、減、乘

先計算,後轉化
即先對每一位按十進制數的方法計算,但不進行進位、借位,計算完再轉化為標準形。例如:
2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001
避免0和1以外的數
更加自然的做法是將數轉化為非標準形,以避免出現需要進位和借位的 1+1 或 0-1 。例如:
2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法

除了整數以外,所有有理數都不能用有限位φ進制數表示。也就是說,黃金進制中能用有限小數表示的數只有整數或者Q[√5]中的無理數。兩個整數相除得到有理數的情況已經在上文說明了。

斐波那契編碼

斐波那契編碼是與黃金進制關係緊密的計數系統。它只用0和1表示數,每個數位的位值對應斐波那契數。和黃金進制一樣,其標準形也不使用「11」。如:

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.

參見

外部連結

參考資料

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黃金進制
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