倒数

数学上，一个数${\displaystyle x}$的倒数（英语：reciprocal）[注 1]，是指一个与${\displaystyle x}$相乘的积为1的数，记为${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$或${\displaystyle x^{-1}}$。在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素[注 2]。

汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话：

一个非零的复数（实数）${\displaystyle a}$的倒数定义为使得${\displaystyle a\times b=b\times a=1}$成立的复数（实数）${\displaystyle b}$，记作${\displaystyle b={\frac {1}{a}}=a^{-1}}$

例如，${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$的倒数是${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$，因为${\displaystyle {\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1}$[1]

每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆，或者在环${\displaystyle Z_{39}}$中，元素3和18也没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。