標準誤差

標準誤差，又叫標準誤（簡稱 SE），係一個統計學概念，講到同樣本計平均數等嘅統計量嗰陣，計出嚟嘅統計量嘅變異程度。最基本上，標準誤差可以理解為：想像依家重複由同一個總體入面抽樣，抽若干次，每次攞到個樣本都同佢哋計一次統計量，例如係計平均數（呢個樣本平均數可以用嚟預測個總體嘅平均數）；標準誤差衡量嘅，就係呢啲計出嚟嘅統計量嘅「波動程度」有幾大。

上圖係服從無偏常態分佈嘅標準誤差。

精確啲講，標準誤差可以用下條式嚟計：

${\displaystyle {\text{標 準 誤 差 }}={\frac {\text{樣 本 標 準 差 }}{\sqrt {\text{樣 本 大 細 }}}}}$

即係話攞樣本標準差，除以樣本大細嘅平方根。

基本定義

睇埋：樣本同抽樣分佈

假想依家要由總體度抽樣，假設個樣本係獨立嘅，而樣本有 ${\displaystyle n}$ 個觀察到嘅數值 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$。個總體嘅真實標準差係 ${\displaystyle \sigma }$ 咁多。由個樣本計算出嚟嘅平均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$，會有一個對應嘅平均值標準誤差 ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$，計法如下：

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

用日常用語講，意思即係話樣本愈大，由樣本估計得出嘅統計量就會愈「穩定」^[1]。

總體標準差 ${\displaystyle \sigma }$ 好少可會事先知道。所以計平均值嘅標準誤差嗰時，統計師通常會用樣本標準差 ${\displaystyle \sigma _{x}}$ 去代替 ${\displaystyle \sigma }$，即係：

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.}$

標準誤差係抽樣分佈嘅標準差。

點解要計

睇埋：樣本大細同信心區間

標準誤差嘅用途包括：

• 反映樣本統計量嘅穩定度同可靠度：標準誤差細，就表示個統計量會比較穩定，而假如標準誤差過大，好可能表示有樣本太細、數據本身變異程度太高... 等等嘅問題。於是研究者就冇信心準確噉估計想計嘅統計量。
• 協助做估計同推論：例如建構信心區間（CI）。
• 幫助進行假說檢定，測試假說：例如計算 t-測試入便嘅 t 統計量。

簡單講，標準誤差用嚟量度「樣本統計量有幾可信」；樣本數量愈大，標準誤差愈細，估計總體參數就愈準確。

睇埋

• 誤差：標準誤差嚴格嚟講唔算係誤差嘅一種，不過可以大概想像成估計誤差有幾高。
• 變異數
• 中央極限
• 誤差範圍