Пачынаў кар’еру ў менскіх клюбах, а потым гуляў за «Шахцёр» і «Граніт». З 2010 году выступаў за бабруйскую «Белшыну», у 2011 годзе замацаваўся ў асноўным складзе бабруйскага клюбу. У студзені 2013 году перайшоў у «Дняпро», дзе стаў гульцом асноўнага складу. Выступаў на пазыцыі флянгавага (левага або правага) абаронцы. Ліпень 2013 году прапусьціў праз траўму, пазьней вярнуўся ў асноўны склад. У студзені 2014 году падпісаў кантракт з «Слуцкам». У слуцкім клюбе быў асноўным левым абаронцам. У сьнежні 2014 году кантракт з «Слуцкам» быў скасаваны^[2].

З пачатку 2015 году трэнаваўся разам з «Зоркай-БДУ». У красавіку падпісаў кантракт з гэтым клюбам^[3], стаўшы гульцом першай адзінаццатцы. У студзені 2016 году вярнуўся ў «Слуцак»^[4], дзе зноў пачаў выступаць у якасьці левага абаронцы. Сэзон 2017 году пачынаў у асноўным складзе, але пазьней страціў месца ў складзе. Па заканчэньні сэзону ў лістападзе 2017 году скасаваў кантракт з «Слуцкам»^[5].

У пачатку 2018 году трэнаваўся з «Крумкачамі», а ў сакавіку — з клюбам «Ашмяны-БДУФК». Аднак пазьней, пасьля таго як «Крумкачы», не атрымаўшы ліцэнзіі дзеля ўдзелу ў Найвышэйшай лізе, заявіліся ў Другую лігу, а Быліна зноў далучыўся да сталічнай каманды^[6]. Паводле вынікаў сэзону 2018 году дапамог «Крумкачам» прабіцца ў Першую лігу. У студзені 2019 году падоўжыў кантракт з клюбам, які зьмяніў афіцыйную назву на НФК^[7]. У пачатку сэзону 2019 году амаль не зьяўляўся на полі, зь ліпеня ўжо часьцей выходзіў у галоўным складзе. У студзені 2020 году пакінуў НФК^[8].

У лютым 2020 году стала вядома, што Аляксандар Быліна пачынае працаваць у структуры менскага «Дынама» ў якасьці сэлекцыянэра^[9]. У 2021 годзе ў якасьці аматара выступаў у складзе «Берасьцежылбуд» у Другой лізе, але згуляў за каманду толькі адзін матч.